Table des matières

• 1. Introduction
  • 1.1 Analyse numérique pour les mécaniciens
    • 1.1.1 Fonctionnement
  • 1.2 Plan du cours
  • 1.3 Démarche du calcul scientifique
    • 1.3.1 Objectifs du cours
    • 1.3.2 Exemples d'application
  
  
• 2. Analyse d'erreurs
  • 2.1 Exemple préliminaire
  • 2.2 Introduction
  • 2.3 Représentation
    • 2.3.1 Nombre Entier $\mathbb{E}$
    • 2.3.2 Nombre Réel $\mathbb{F}$
  • 2.4 Erreur de représentation
    • 2.4.1 Précision machine $\epsilon$
    • 2.4.2 Arithmétique flottante:
    • 2.4.3 Erreurs numériques
    • 2.4.4 Propagation des arrondis
    • 2.4.5 Conditionnement et stabilité
  • 2.5 Erreurs de troncature
    • 2.5.1 Développement de Taylor
  • 2.6 Calcul d'erreurs
    • 2.6.1 règles sur les erreurs
  • 2.7 Introduction à Maple
  • 2.8 Algorithmique
    • 2.8.1 Notion d'algorithme
    • 2.8.2 Calcul scientifique numérique
  • 2.9 Langage algorithmique
    • 2.9.1 Exemple: Algèbre Linéaire
  
  
• 3. Recherche des racines de $f(x)=0$
  • 3.1 Introduction
    • 3.1.1 Un premier exemple
    • 3.1.2 Définition
  • 3.2 Méthode de Bissection (Dichotomie)
    • 3.2.1 Exemple
    • 3.2.2 Définition
  • 3.3 Méthode de point fixe ( approximations successives)
    • 3.3.1 Exemple
    • 3.3.2 Définition
    • 3.3.3 Étude de la convergence
    • 3.3.4 Interprétation graphique
  • 3.4 Ordre d'une suite et vitesse de convergence
  • 3.5 Algorithme
  • 3.6 Méthodes de NEWTON
    • 3.6.1 Méthode de Newton Ralphson
    • 3.6.2 Regula Falsi ou sécante
  
  
• 4. Résolution de système linéaire $A.x=b$
  • 4.1 Introduction
    • 4.1.1 Exemple
    • 4.1.2 Définition
  • 4.2 Algorithme de GAUSS
    • 4.2.1 Exemple
    • 4.2.2 Principe
    • 4.2.3 Système triangulaire
    • 4.2.4 Exemple d'élimination
    • 4.2.5 Algorithme de GAUSS
    • 4.2.6 Pivotage
  • 4.3 Factorisation LU (Crout)
    • 4.3.1 factorisation
    • 4.3.2 résolution
    • 4.3.3 déterminant
    • 4.3.4 inverse
  • 4.4 Conditionnement d'une matrice
    • 4.4.1 Normes dans $R^{n}$
    • 4.4.2 Normes matricielles
    • 4.4.3 Définition du conditionnement
    • 4.4.4 Erreur
  
  
• 5. Méthodes itératives de résolution de $A.X=B$
  • 5.1 Introduction
  • 5.2 Méthode de décomposition
    • 5.2.1 Construction d'une suite itérative
    • 5.2.2 Convergence
  • 5.3 Méthode de Jacobi
    • 5.3.1 description de la méthode
    • 5.3.2 convergence de la méthode
  • 5.4 Méthode de Gauss-Seidel
    • 5.4.1 description de la méthode
    • 5.4.2 convergence de la méthode
  • 5.5 Méthode SOR (Successive OverRelaxed)
  • 5.6 Méthode de Gradient
    • 5.6.1 description de la méthode
    • 5.6.2 convergence de la méthode
  • 5.7 Problème aux valeurs propres
  • 5.8 Methode de la puissance itérée
    • 5.8.1 Iteration inverse
  • 5.9 Algorithme QR
    • 5.9.1 Factorisation QR
  
  
• 6. Interpolation polynomiale
  • 6.1 Introduction
  • 6.2 Interpolation de Lagrange
    • 6.2.1 Unicité de p(x)
  • 6.3 Estimation de l'erreur
    • 6.3.1 interpolation linéaire
    • 6.3.2 majoration d'erreur
  • 6.4 Interpolation de Chebycheff
    • 6.4.1 introduction
    • 6.4.2 construction
    • 6.4.3 propriétés
    • 6.4.4 polynôme normalisé
  
  
• 7. Meilleure approximation
  • 7.1 Introduction
  • 7.2 Moindres carrés discrets
    • 7.2.1 Cas général
    • 7.2.2 Équation des moindres carrés
    • 7.2.3 Droite des moindres carrés
  
  
• 8. Intégration numérique
  • 8.1 Introduction
    • 8.1.1 example
    • 8.1.2 définition
  • 8.2 Formules de quadrature par interpolation
    • 8.2.1 Formules de Newton-Côtes
    • 8.2.2 évaluation de l'erreur
  • 8.3 Méthodes composites
    • 8.3.1 Méthode des trapèzes
    • 8.3.2 Méthode de SIMPSON
  • 8.4 Formules de GAUSS
  
  
• 9. Equations différentielles
  • 9.1 Introduction
  • 9.2 Formules de dérivation
    • 9.2.1 Utilisation des séries de Taylor
    • 9.2.2 Dérivation du polynôme d'interpolation
    • 9.2.3 Dérivée d'ordre 2
  • 9.3 Principe d'intégration numérique d'une ED
    • 9.3.1 Caractéristiques des méthodes
  • 9.4 Méthode d'Euler
  • 9.5 Méthode de Runge Kutta
  
  
• Bibliographie