5.3 Méthode de Jacobi

5.3.1 description de la méthode

• décomposition de A : $A=D-E-F$
• D : diagonale de A
  $D_{ii}=A_{ii}$ et $D_{ij}=0$ si $i\neq j$
• E : matrice triangulaire inférieure
  $E_{ij}=A_{ij}$ si $i>j$ et $E_{ij}=0$ si $i\le j$
• F : matrice triangulaire supérieure
  $F_{ij}=A_{ij}$ si $i<j$ et $F_{ij}=0$ si $i\ge j$

itération

de Jacobi

$$D.X^{(k+1)}=(E+F).X^{(k)}+B$$

$$X_{i}^{(k+1)}=X_{i}^{(k)}+\frac{1}{A_{ii}}(B_{i}-\sum_{j=1}^{n}A_{ij}.X_{j}^{(k)})$$

$$X_{i}^{(k+1)}=X_{i}^{(k)}+\frac{1}{A_{ii}}R_{i}^{(k)}$$

5.3.2 convergence de la méthode

théorème:

Si A est une matrice à diagonale dominante, alors la méthode de Jacobi converge

définition:

matrice à diagonale dominante
A est à diagonale dominante si

$$\forall i \left\vert A_{ii}\right\vert>\sum_{j=1;j\neq i}^{n}\left\vert A_{ii}\right\vert$$

demonstration:

matrice de l' itération $G$

$$G=D^{-1}.(E+F)$$

$$G_{ii}=0\mbox{ et }G_{ij}=-\frac{A_{ij}}{A_{ii}}$$

$$\sum_{j=1}^{n}\left\vert G_{ij}\right\vert=\sum_{j=1;j\neq i}^{n}\frac{A_{ij}}{A_{ii}}<1$$

$$\Rightarrow\left\Vert G\right\Vert _{\infty}<1$$

$$\rho(G)\le\left\Vert G\right\Vert _{\infty}<1$$

Algorithme

8