Sous-sections

5.3 Méthode de Jacobi

5.3.1 description de la méthode

itération
de Jacobi

\begin{displaymath}
D.X^{(k+1)}=(E+F).X^{(k)}+B\end{displaymath}


\begin{displaymath}
X_{i}^{(k+1)}=X_{i}^{(k)}+\frac{1}{A_{ii}}(B_{i}-\sum_{j=1}^{n}A_{ij}.X_{j}^{(k)})\end{displaymath}


\begin{displaymath}
X_{i}^{(k+1)}=X_{i}^{(k)}+\frac{1}{A_{ii}}R_{i}^{(k)}\end{displaymath}

5.3.2 convergence de la méthode

théorème:
Si A est une matrice à diagonale dominante, alors la méthode de Jacobi converge
définition:
matrice à diagonale dominante
A est à diagonale dominante si

\begin{displaymath}
\forall i  \left\vert A_{ii}\right\vert>\sum_{j=1;j\neq i}^{n}\left\vert A_{ii}\right\vert\end{displaymath}

demonstration:
matrice de l' itération $G$

\begin{displaymath}
G=D^{-1}.(E+F)\end{displaymath}


\begin{displaymath}
G_{ii}=0\mbox{ et }G_{ij}=-\frac{A_{ij}}{A_{ii}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\sum_{j=1}^{n}\left\vert G_{ij}\right\vert=\sum_{j=1;j\neq i}^{n}\frac{A_{ij}}{A_{ii}}<1\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\Rightarrow\left\Vert G\right\Vert _{\infty}<1\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\rho(G)\le\left\Vert G\right\Vert _{\infty}<1\end{displaymath}

Algorithme
8

\begin{algorithm}
% latex2html id marker 1071\par
\caption{jacobi
}
\par
\begi...
...i]
\par
 finpour
\par
jusqu'à sqrt(Residu) $<$ Eps\end{list}\par
\end{algorithm}


Pr. Marc BUFFAT
marc.buffat@univ-lyon1.fr
2007-11-26