5.2 Méthode de décomposition

5.2.1 Construction d'une suite itérative

Décomposition

de A = E - F avec E inversible

$$A.X=B\Leftrightarrow X=E^{-1}.(F.X+B)$$

Algorithme

 

Dans la pratique, on utilise que 2 vecteurs $X1=X^{k}$et $X2=X^{k+1}$

5.2.2 Convergence

• Erreur $e^{(k)}=X^{(k)}-X$
• par récursion $e^{(k+1)}=G^{k+1}.e^{(0)}$
  avec $G=E^{-1}.F$ matrice de l'itération
• La suite $\{ X^{(k)}\}$ converge si
  
  $$\lim_{k\rightarrow\infty}{e^{(k)}}=0$$
  
  

théorème:

la méthode itérative $e^{(k+1)}=G.e^{(k)}$ converge si et seulement si le rayon spectral $\rho(G)$ de la matrice G est strictement inférieur à 1. Par définition

$$\rho(G)=\max_{i=1,n}{\left\vert\lambda_{i}\right\vert}$$

où $\lambda_{i}$ est la $i^{ieme}$ valeur propre de G

demonstration:

cas G diagonalisable $G=S.D.S^{-1}$
S matrice normale des vecteurs propres de G : $\chi_{i}$
D matrice diagonale des valeurs propres : $\lambda_{i}$
$G^{2}=G.G.=S.D.S^{-1}.S.D.S^{-1}=S.D^{2}.S^{-1}$
$G^{k}=S.D^{k}.S^{-1}$

$$\lim_{k\rightarrow\infty}{G.e^{(k)}}=0\Leftrightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}{D^{k}}=0$$

$$\Leftrightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}{\lambda_{i}^{k}}=0$$

remarque:

théorème du point fixe
$F(x)=G.x$ avec $F'(x)=G$ converge si $\left\Vert G\right\Vert <1$