8.2 Formules de quadrature par interpolation

On approche f(x) par le polynôme d'interpolation P(x).

$$f(x)\simeq P(x)=\sum_{i=0}^{n}{l_{i}(x).f(x_{i})}$$

Problème du choix des abscisses ${x_{i}}$

1. subdivision régulière de $[a,b]$
2. choisir les ${x_{i}}$ ``au mieux''

$$I(f)\simeq\sum_{i=0}^{n}{A_{i}^{n} f(x_{i})}\mbox{ avec }A_{i}^{n}=\int_{a}^{b}{l_{i}(x) dx}$$

théorème:

Une formule de quadrature à (n+1) points est exacte pour tous les polynômes de degré au plus n si et seulement si elle est du type interpolation à (n+1) points . (i.e. P(x) est le polynôme d'interpolation de f(x))

Application:

calcul des coefficients $A_{k}^{n}$ par "la méthode des coefficients indéterminés".

exemple:

calcul de $A_{0}^{1}$ et $A_{1}^{1}$ t.q.

$$\int_{-1}^{+1}{f(x) dx}\simeq A_{0}^{1}f(-1)+A_{1}^{1}f(1)$$

avec f(x) = 1 et x, on obtient un système 2*2, d'où $A_{0}^{1}=A_{1}^{1}=1$

8.2.1 Formules de Newton-Côtes

subdivision régulière de [a,b]

1. formule du trapèze (n=1)
   
   $$\int_{a}^{b}{f(x) dx}\simeq(b-a)\left(\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)\right)$$
   
   

2. formule de Simpson (n=2)
   
   $$\int_{a}^{b}{f(x) dx}\simeq(b-a)\left(\frac{1}{6}f(a)+\frac{4}{6}f(\frac{a+b}{2})+\frac{1}{6}f(b)\right)$$
   
   

8.2.2 évaluation de l'erreur

8.2.2.1 formule du trapèze

majoration de l'erreur R(h) avec h=b-a:

$$R(h)=\int_{a}^{a+h}{f(x) dx}-\frac{h}{2}(f(a)+f(a+h))$$

D.L. de R(h) au voisinage de h=0

$$R'(h)=\frac{f(a+h)-f(a)-hf'(a+h)}{2}$$

$$R''(h)=-\frac{h}{2}f''(a+h)$$

$$R'''(h)=-\frac{1}{2}f''(a+h)-\frac{h}{2}f'''(a+h)$$

$$\leadsto R(h)=\frac{h^{3}}{3!}(-\frac{1}{2}f''(a))+h^{3}\epsilon(h)$$

$$\left\vert R(f)\right\vert\leq\frac{h^{3}}{12}\max_{x\in[a,b]}\left\vert f''(x)\right\vert$$

8.2.2.2 formule de SIMPSON

majoration de l'erreur R(h) avec $h=\frac{b-a}{2}$ et $\alpha=\frac{a+b}{2}$:

$$R(h)=\int_{\alpha-h}^{\alpha+h}{f(x) dx}-\frac{h}{3}(f(\alpha-h)+4f(\alpha)+f(\alpha+h))$$

D.L. de R(h) au voisinage de h=0

$$\leadsto R(h)=\frac{h^{5}}{5!}(-\frac{4}{3}f^{(4)}(\alpha))+h^{5}\epsilon(h)$$

$$\left\vert R(f)\right\vert\leq\frac{h^{5}}{90}\max_{x\in[a,b]}\left\vert f^{(4)}(x)\right\vert$$

8.2.2.3 cas général

théorème:

Pour un nombre de points (n+1) dans les formules de Newton-Côtes, si n est pair l'erreur est en $h^{n+3}$, par contre si n est impair l'erreur est en $h^{n+2}$

remarque:

Si n impair la précision est n, si n pair la précision est n+1. Attention Formules instables !!.