5.7 Problème aux valeurs propres

$$A\Lambda_{i}=\lambda_{i}\Lambda_{i}\mbox{ avec }\Lambda_{i}\in\mathbb{R}^{n},\lambda_{i}\in\mathbb{R}$$

$\lambda_{i}$ valeur propre $\Lambda_{i}$ vecteur propre normalisé $\vert\vert\Lambda_{i}\vert\vert=1$

• si $A$ diagonalisable, n valeurs propres réelles
  
  $$A=P^{-1}\Lambda P$$
  
  

• décomposition sur la base des vect. propres

$$X=\sum_{j=1,n}\alpha_{j}\Lambda_{j}$$

$$A.X=\sum_{j=1,n}\alpha_{j}\lambda_{j}\Lambda_{j}$$

• $\lambda_{i}$ racine de l'équation caractéristique

$$det(A-\lambda Id)=0$$

• problème généralisé

$$A\Lambda=\lambda M\Lambda$$

Problème très difficile !!