3.6 Méthodes de NEWTON

$$f(x)=0 \equiv g(x)=x$$

3.6.1 Méthode de Newton Ralphson

$$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$$

théorème:

Si f est 2 fois continûment dérivable au voisinage de la racine $x^{*}$, et si $f'(x^{*})\neq0$, alors il existe un voisinage V de $x^{*}$ t.q. $\forall x_{0}\in V$ la méthode de Newton converge vers $x^{*}$ et est d'ordre 2.

demonstration

 

$$g'(x)=\frac{f(x).f''(x)}{f'(x)^{2}}$$

$$g'(x^{*})=0$$

$$x_{n+1}-x=\frac{g''(\xi)}{2!}*(x_{n}-x)^{2}$$

3.6.2 Regula Falsi ou sécante

$$f'(x_{n})\simeq\frac{f(x-n)-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}$$

$$x_{n+1}=\frac{x_{n}*f(x_{n-1})-x_{n-1}*f(x_{n})}{f(x_{n-1})-f(x_{n})}$$

• méthode de la sécante
  on construit l'intersection à partir des 2 derniers points
• meilleure convergence si fonction régulière
• variante: méthode Regula Falsi on choisit les 2 points qui encadrent la racine
• méthode de la sécante d'ordre $\frac{1+\sqrt{(}5)}{2}\simeq1.618$