9.2 Formules de dérivation

f(x) définie par ses valeurs en n+1 points ${x_{i}}$

Estimation de la dérivée $f'(x_{i})$

9.2.1 Utilisation des séries de Taylor

• Subdivision régulière de [a,b]
  avec un pas h : $x_{i}=x_{0}+ih$
• D.L. de $f(x_{i}+h)$ et $f(x_{i}-h)$ au voisinage de $x_{i}$
  
  $$f(x_{i}+h)=f(x_{i})+h f'(x_{i})+\frac{h^{2}}{2}f''(x_{i})+\ldots$$
  
  
  
  
  $$f(x_{i}-h)=f(x_{i})-h f'(x_{i})+\frac{h^{2}}{2}f''(x_{i})+\ldots$$
  
  

• 3 approximations de $f'(x_{i})$ :
  1. différences finies centrées :
     
     $$f'(x_{i})=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}-\frac{h^{2}}{3}f'''(\xi)$$
     
     

  2. différences finies décentrées amont
     
     $$f'(x_{i})=\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{h}+\frac{h}{2}f''(\xi)$$
     
     

  3. différences finies décentrées aval
     
     $$f'(x_{i})=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i})}{h}-\frac{h}{2}f''(\xi)$$
     
     

9.2.2 Dérivation du polynôme d'interpolation

formules équivalentes :

polynôme d'ordre 2 $\leadsto$ formule centrée ordre 2

polynôme d'ordre 1 $\leadsto$ formule décentrée ordre 1

9.2.3 Dérivée d'ordre 2

D.L de $f(x_{i}+h)$ et $f(x_{i}-h)$ au voisinage de $x_{i}$ :

$$f''(x_{i})=\frac{f(x_{i+1})-2f(x_{i})+f(x_{i-1})}{h^{2}}-\frac{h^{2}}{12}f^{(4)}(\xi)$$

Polynôme d'interpolation P(x) de degré 2

$$\begin{eqnarray*} P(x) & = & f_{i-1}\frac{(x-x_{i})(x-x_{i+1})}{2h^{2}}\\ & - ... ...+1})}{h^{2}}\\ & + & f_{i+1}\frac{(x-x_{i-1})(x-x_{i})}{2h^{2}}\end{eqnarray*}$$

$$f''(x_{i})\approx P''(x_{i})=\frac{f(x_{i+1})-2f(x_{i})+f(x_{i-1})}{h^{2}}$$