9.1 Introduction

Soit $f(x,y)$ une fonction de $\mathbb{R}\otimes\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, on cherche la solution $y(x)$ sur $[a,b]$ de l'équation différentielle du premier ordre y(x)

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y(x))\mbox{ avec }y(a)=y_{0}$$

C'est un problème aux valeurs initiales ou ``Problème de Cauchy''

théorème:

si f(x,y) est continue sur $[a,b]\otimes\Re$ et si f vérifie une condition de Lipschitz par rapport à y, i.e $\exists L>0$:

$$\left\vert f(x,u)-f(x,v)\right\vert\leq L\left\vert u-v\right\vert\mbox{ }\forall u,v\in\mathbb{R}\mbox{ et }\forall x\in[a,b]$$

alors le problème de Cauchy admet une solution unique sur [a,b] $\forall y_{0}$

• condition de Lipschitz
  si f(x,y) est continument differentiable / à y , alors f(x,y) vérifie une condition de Lipshitz
• systèmes du $1^{er}$ ordre
  $X\in\Re^{N}$ et $F(x,Y)$ de $[a,b]\otimes Re^{N}$ sur $Re^{N}$
  
  $$\frac{dy_{i}}{dx}=F_{i}(x,Y(x))\mbox{ avec }Y(a)=Y_{0}$$
  
  

• équations différentielles d'ordre $>1$
  $\equiv$ systèmes d'ordre N
  On pose $y_{i}=\frac{d^{i}y}{x^{i}}$
• problème aux limites
  (Equations aux Dérivées Partielles)
• $\leadsto$ approximation de $\frac{dy}{dx}$ = derivation numérique