6.3 Estimation de l'erreur

soit f(x) fonction de classe $C^{n+1}[a,b]$
soient n+1 points $a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=b$

Problème:

déterminer l'écart entre f(x) et p(x)

théorème:

Soit $f(x)\in C^{n+1}[a,b]$ et p(x) le polynôme d'interpolation de f(x) passant par les n+1 points $(x_{i},f_{i}=f(x_{i}))$, alors :

$$f(x)-p(x)=\frac{\prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})}{(n+1)!}f^{n+1}(\xi)\mbox{ avec }\xi\in[a,b]$$

démonstration:

 

Soit $K(x)=\frac{f(x)-p(x)}{\prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})}$ et $W(t)=f(t)-p(t)-K(x)*\prod_{i=0}^{n}(t-x_{n})$

W(t) s'annule en n+2 points : $x_{i}$ (i=0,n) et x
donc W'(t) s'annule en n+1 points (théorème de Rolle)
donc $W^{n+1}(t)$ s'annule une fois en $\xi\in[a,b]$

$$W^{n+1}(\xi)=f^{n+1}(\xi)-(n+1)!*K(x)$$

$$\leadsto f(x)=p(x)+\frac{\prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})}{(n+1)!}*f^{n+1}(\xi)$$

6.3.1 interpolation linéaire

$$p(x)=\frac{b-x}{b-a}*f(a)+\frac{x-a}{b-a}*f(b)$$

$$f(x)-p(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{2}f''(\xi)$$

6.3.2 majoration d'erreur

théorème:

si $f^{n+1}(x)$ est continue sur [a,b], alors l'erreur d'interpolation est majorée par :

$$\left\vert f(x)-p(x)\right\vert\leq\frac{\left\vert\prod_{i=... ...t}{(n+1)!}*\max_{\xi\in[a,b]}\left\vert f^{n+1}(\xi)\right\vert$$