6.2 Interpolation de Lagrange

6.2.1 Unicité de p(x)

théorème:

il existe un polynôme unique de degré au plus n tel que $p(x_{i})=f_{i}$ pour $i=0,n$.

démonstration:

unicité par l'absurde
existence avec la base de Lagrange

soit $P^{n}$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\leq n$

soit $l_{k}(x)$ le polynôme de $P^{n}$ t.q. $l_{k}(x_{i})=\delta_{ij}$

$l_{k}(x)$ possède n zéros $x_{j}$ pour $j=0,n\j\neq k$

$$l_{k}(x)=\frac{\prod_{i=1,i\neq k}^{n}(x-x_{i})}{\prod_{i=1,i\neq k}^{n}(x_{k}-x_{i})}$$

les $l_{k}(x)(k=0,n)$ forment une base de $P^{n}$

Polynôme d'interpolation de Lagrange

$$p(x)=\sum_{i=0}^{n}f_{k}*l_{k}(x)$$