4.3 Factorisation LU (Crout)

• $A=L.U$
• $U$ matrice triangulaire supérieure.
• $L$ matrice triangulaire inférieure avec diagonale unité

4.3.1 factorisation

1ère version (boucle par colonnes)

pour

j=1 à N

$$U_{ij}=A_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1}L_{ik}.U_{k,j} \mbox{pour }i=1,j$$

$$L_{ij}=\frac{1}{U_{jj}}(A_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1}L_{ik}.U_{kj}) \mbox{pour }i=j+1,N$$

2ième version (identique mais plus symétrique avec des boucle sur les lignes et les colonnes )

pour

i=1 à N

$$U_{ij}=A_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1}L_{ik}.U_{k,j} \mbox{pour }j=i,N$$

$$L_{ji}=\frac{1}{U_{ii}}(A_{ji}-\sum_{k=1}^{i-1}L_{jk}.U_{ki}) \mbox{pour }j=i+1,N$$

4.3.2 résolution

$AX=B\Leftrightarrow L.Y=B\mbox{ et }U.X=Y$

$$Y_{i}=(B_{i}-\sum_{j=1}^{i-1}L_{ij}.Y_{j})\mbox{ pour }i=1,N$$

$$X_{i}=\frac{1}{U_{ii}}(Y_{i}-\sum_{j=i+1}^{N}U_{ij}.X_{j})\mbox{ pour }i=N,1$$

4.3.3 déterminant

$$det(A)=det(L)*det(U)=1*\prod_{k=1}^{N}U_{kk}$$

théorème:

Si $A$ est inversible, il existe une permutation $P$ telle que la factorisation $L.U$ sans pivotage soit unique

4.3.4 inverse

Calcul de $A^{-1}$ par colonne par résolution de système linéaire

Pour la colonne j : $C^{(j)}$ de $A^{-1}$ on résout

$$A*C^{(j)}=B$$

$$\mbox{ avec }B_{i}=\delta_{ij}$$