3.3 Méthode de point fixe ( approximations successives)

3.3.1 Exemple

englishrecherche des racines par point fixe (Newton)

3.3.2 Définition

$$x=g(x) \equiv f(x)=0$$

Point fixe:

solutions de $x=g(x)$

Méthode du point fixe:

A partir de $x_{0}$ donné, construction de la suite $x_{n}$ à l'aide de l'itération

$$x_{1}=g(x_{0})$$

$$x_{2}=g(x_{1})$$

$$.....$$

$$x_{n+1}=g(x_{n})$$

Remarque:

si la suite $x_{n}$ converge, elle converge vers un point fixe de G(x)

3.3.3 Étude de la convergence

théorème:

Si g est différentiable au voisinage d'un point fixe $x^{*}$, et si $\left\vert g'(x^{*})\right\vert<1$ alors $\exists V$ voisinage de $x^{*}$ t.q. $\forall x_{0}\in V$ la suite $x_{n+1}=g(x_{n})$ converge vers $x^{*}$

démonstration:

D.L de g(x) au voisinage de $x^{*}$

$$x_{n+1}=g(x_{n})=x^{*}+g'(\xi)(x_{n}-x^{*})\mbox{ pour }\xi\in[x_{n},x_{*}]$$

$$\left\vert x-x^{*}\right\vert<K*\left\vert x_{n}-x^{*}\right\vert\mbox{ avec }K=\max(\left\vert g'(x)\right\vert)$$

$$\left\vert x_{n+1}-x^{*}\right\vert<K^{n}\left\vert x_{0}-x^{*}\right\vert$$

si $\left\vert g'(x^{*})\right\vert<1$ alors $\exists V=[a,b]$ t.q.$K<1$ et $x_{0}\in[a,b]$ d'où la convergence

remarque:

Dans la pratique, on choisit un intervalle $[a,b]$ t.q. $\left\vert g'(x)\right\vert<1$ sur $[a,b]$ (car on ne connaît pas $x^{*}$)

3.3.4 Interprétation graphique

intersection de la droite $y=x$ avec la courbe $y=g(x)$

1. $g'(x)<-1$ divergence
2. $-1<g'(x)<0$ convergence alternée
3. $0<g'(x)<1$ convergence monotone
4. $g'(x)>1$ divergence

Domaine

d'attraction d'un point fixe: Points fixes attractifs ou répulsifs