3.4 Ordre d'une suite et vitesse de convergence

Suite d'ordre 1:

soit $x_{n}$ une suite convergeant vers $x^{*}$. On dit que la suite $x_{n}$ est d'ordre $1$ si:

$$C=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left\vert x_{n+1}-x^{*}\right\vert}{\left\vert x_{n}-x^{*}\right\vert}\neq0$$

$$\leadsto\left\vert x_{n+1}-x^{*}\right\vert\simeq C.\left\vert x_{n}-x^{*}\right\vert$$

vitesse

de cvge=$C$ $\leadsto$ $-log_{10}(C)$ chiffres exactes /iter.

Suite d'ordre 2:

la suitep $x_{n}$ est d'ordre $2$ si:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left\vert x_{n+1}-x^{*}\right\vert}{\left\vert x_{n}-x^{*}\right\vert}=0$$

$$C=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left\vert x_{n+1}-x^{*}\right\vert}{\left\vert x_{n}-x^{*}\right\vert^{2}}\neq0$$

$$\leadsto\left\vert x_{n+1}-x^{*}\right\vert\simeq C.\left\vert x_{n}-x^{*}\right\vert^{2}$$

vitesse

de cvge=2 $\leadsto$ double le nombre de chiffres exactes /iter.