2.4 Erreur de représentation

2.4.1 Précision machine $\epsilon$

$$\frac{\left\Vert a-fl(a)\right\Vert }{\left\Vert a\right\Vert }\le\epsilon$$

2.4.1.1 Algorithme précision machine1

Pour une représentation avec t chiffres: $\epsilon<0.5 10^{-t}$

2.4.2 Arithmétique flottante:

• erreur sur les opérations
• opérations arithmétiques inexactes + - * /

2.4.3 Erreurs numériques

• non associativité de l'addition et soustraction
• formule exacte $\leadsto$ résultats numériques faux

exemple

$x=\frac{-b\mp\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
calcul simple précision avec $a=10^{-8},b=-0.8,c=10^{-8}$
$x_{1}\simeq\0.8 10^{8}$ et $fl(x1)\simeq\0.8 10^{8}$
$x_{2}\simeq\1.25 10^{-8}$ et $fl(x2)\simeq\17.8 10^{-8}$

• formules instables = soustraction de quantités voisines

2.4.4 Propagation des arrondis

• accumulation des erreurs élémentaires
  $\leadsto$ erreur sur des sommes ou produits non négligeables

exemple

calcul de $e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\ldots$ pour $x<0$ série alternée sur un ordinateur avec t=14

x

$e^{x}$

Somme -10

2.4.5 Conditionnement et stabilité

Conditionnement

sensibilité du résultat à une petite variation des données.
Problème mal conditionné=grande sensibilité vis à vis des données.

Stabilité

sensibilité de l'algorithme vis a vis des erreurs numériques