Table des matières

• -1. Notations
• 0. Méthodes de discrétisation des EDP
  • 0.1 Introduction
  • 0.2 Méthodes d'approximation
  • 0.3 Intérêts des méthodes de différences finies
  
  
• 1. Une première approche
  • 1.1 Introduction
  • 1.2 Étude de l'équation de la chaleur
    • 1.2.1 Problème physique: conduction dans une barre
    • 1.2.2 Problème modèle
    • 1.2.3 Recherche d'une solution analytique
  • 1.3 Recherche de solution analytique avec Maple
    • 1.3.1 Problème physique: conduction dans une barre
    • 1.3.2 Problème modèle
    • 1.3.3 Recherche de solutions analytiques
  • 1.4 Méthode des différences finies
    • 1.4.1 Approximation de la dérivée première $\frac{\partial u}{\partial t}$
    • 1.4.2 Approximation de la dérivée seconde $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$
    • 1.4.3 Un premier schéma aux différences finies: le schéma explicite
  • 1.5 Étude de la convergence du schéma explicite
    • 1.5.1 Étude de la consistance du schéma explicite
    • 1.5.2 Etude de la stabilité du schèma explicite
    • 1.5.3 Étude de la convergence du schéma explicite
  • 1.6 Validation avec Matlab
    • 1.6.1 Simulation du problème $(P_{1})$
    • 1.6.2 Simulation du problème $(P_{2})$
  
  
• 2. Construction de schéma aux différences finies
  • 2.1 Problème modèle
  • 2.2 Approximation des dérivées par différences finies
    • 2.2.1 Différenciation décentrée avancée
    • 2.2.2 Différenciation décentrée retardée.
    • 2.2.3 Différenciation centrée
    • 2.2.4 Discrétisation de la dérivée seconde
    • 2.2.5 Opérateur de différenciation
    • 2.2.6 Discrétisations classiques
    • 2.2.7 Schémas d'ordre élevé (schéma compacte)
    • 2.2.8 Discrétisation des dérivées en temps
  • 2.3 Polynôme d'interpolation
    • 2.3.1 Polynôme d'interpolation de Lagrange
    • 2.3.2 Estimation de l'erreur
    • 2.3.3 Exemple
    • 2.3.4 Dérivation du polynôme d'interpolation
    • 2.3.5 Matrice de dérivation
  • 2.4 Exemple d'obtention de formules de discrétisation
    • 2.4.1 Exemple 1
    • 2.4.2 Exemple 2
  • 2.5 Equations discrétes et conditions aux limites
    • 2.5.1 condition de Dirichlet
    • 2.5.2 condition de Neuman
    • 2.5.3 condition mixte
    • 2.5.4 condition de périodicité
    • 2.5.5 remarque sur les conditions aux limites
  • 2.6 Convergence
    • 2.6.1 consistance
    • 2.6.2 stabilité
    • 2.6.3 convergence
  • 2.7 Analyse de Fourier
    • 2.7.1 analyse de Fourier de la solution exacte
    • 2.7.2 Symbol G de l'équation
    • 2.7.3 Interprétation
    • 2.7.4 Analyse de Fourier du schéma D.F.
    • 2.7.5 Analyse d'un schéma explicite centré
  
  
• 3. Étude de schémas classiques en 1D
  • 3.1 Introduction
  • 3.2 Équation de la chaleur avec source
    • 3.2.1 Problème physique
    • 3.2.2 Étude de la solution analytique
    • 3.2.3 Discrétisation avec un $\theta$ -schéma
    • 3.2.4 Étude de la stabilité du $\theta$ -schéma
    • 3.2.5 Étude de la consistance du $\theta$ -schéma
    • 3.2.6 Expérimentation numérique avec Matlab
    • 3.2.7 Étude numérique de la précision
  • 3.3 Équation de transport
    • 3.3.1 Problème physique: convection dans un fluide
    • 3.3.2 Étude de la solution analytique
    • 3.3.3 Discrétisation par différences finies
    • 3.3.4 Schéma explicite centré
    • 3.3.5 Schéma implicite centré
    • 3.3.6 Schéma explicite d'ordre 2 avec diffusion numérique
    • 3.3.7 Schéma explicite décentré d'ordre 1
    • 3.3.8 Propriétés de dispersion
    • 3.3.9 Convection d'une discontinuité
  • 3.4 Équation de convection-diffusion
    • 3.4.1 Problème physique
    • 3.4.2 Étude de la solution analytique
    • 3.4.3 Discrétisation avec un schéma centré d'ordre 2
    • 3.4.4 Expérimentation numérique avec Matlab
    • 3.4.5 Discrétisation avec un schéma décentré
    • 3.4.6 Expérimentation numérique avec Matlab
  • 3.5 Équation des ondes
    • 3.5.1 Problème physique: propagation d'une onde sonore
    • 3.5.2 Étude de la solution analytique
    • 3.5.3 Discrétisation avec un schéma explicite centré
    • 3.5.4 Expérimentation numérique avec Matlab
  • 3.6 Equation de transport non linéaire
  • 3.7 Équation de diffusion non linéaire
    • 3.7.1 Problème physique: diffusion dans une flamme
    • 3.7.2 Étude analytique
    • 3.7.3 Discrétisation par différences finies
    • 3.7.4 Schéma explicite
    • 3.7.5 Schéma implicite linéarisé
    • 3.7.6 Schéma de Newton
    • 3.7.7 Expérimentation numérique avec Matlab
  
  
• 4. Schémas différences finies en 2D
  • 4.1 Introduction
  • 4.2 Équation de Poisson
    • 4.2.1 Problème physique
    • 4.2.2 Étude de la solution analytique
    • 4.2.3 Schéma aux différences finies pour le laplacien
    • 4.2.4 Expérimentation numérique avec Matlab
  • 4.3 Équation des ondes
    • 4.3.1 Problème physique: oscillations d'une surface libre
    • 4.3.2 Étude de solutions analytiques
    • 4.3.3 Schéma explicite
    • 4.3.4 Expérimentation numérique avec Matlab
  • 4.4 Équation de convection-diffusion
    • 4.4.1 Problème physique: dispersion d'un polluant
    • 4.4.2 Étude de la solution exacte
    • 4.4.3 Discrétisation par différences finies
    • 4.4.4 Méthode des directions alternées implicites
    • 4.4.5 Expérimentation numérique avec Matlab
  
  
• 5. Annexe: EDP et EDO
  • 5.1 Equations aux dérivées partielles du premier ordre
    • 5.1.1 Equation linéaire associée
    • 5.1.2 Intégrales premières d'un système différentielle ordinaire
    • 5.1.3 Solution générale
    • 5.1.4 Quelques exemples
  • 5.2 Equation aux dérivées partielles du second ordre
    • 5.2.1 Equation quasi-linéaire en dimension 2
    • 5.2.2 Directions caractéristiques
    • 5.2.3 Autre interprétation des directions caractéristiques
  • 5.3 Equations différentielles
    • 5.3.1 Propriétés générales
    • 5.3.2 Le problème de Cauchy
    • 5.3.3 Propriétés plus générales qu'une condition de dérivation
    • 5.3.4 Intégrales premières
    • 5.3.5 Equations aux dérivées partielles satisfaites par les intégrales premières
    • 5.3.6 Equations aux dérivées partielles quasi-linéaires au premier ordre.
    • 5.3.7 Méthode de résolution d'une EDP quasi-linéaire du premier ordre.
    • 5.3.8 Applications
  
  
• Bibliographie