2.2 Approximation des dérivées par différences finies

Afin d'appliquer la méthode des différences finies, le domaine spatiale $[0,L]$ doit être divisé en $N_{x}$ intervalles, chacun de longueur $h=L/Nx$ . Le domaine temporelle est aussi divisée en $N_{t}$ intervalles de pas $\Delta t=T/N_{t}$ . Le domaine $\Omega$ est donc découpé suivant un maillage où chaque point $(x_{i},t_{n})_{i=0,1,\ldots Nx}^{n=0,1,2,\ldots.}$ est repéré sur l'axe $x$ par sa position $x_{i}=ih$ et sur l'axe $t$ par $:t_{n}=n\Delta t$ comme le montre la figure ci dessous.

Figure 2.1: maillage différences finies

On pose dans ce qui suit :

$$u(x_{i},t^{n}) =u[i\times h,n\times\Delta t]=u_{i}^{n}$$ (2.2)

$$u(x_{i+1},t^{n}) =u[(i+1)\times h,n\times\Delta t]=u_{i+1}^{n}$$ (2.3)

$$u(x_{i-1},t^{n}) =u[(i-1)\times h,n\times\Delta t]=u_{i-1}^{n}$$ (2.4)

$$u(x_{i},t^{n+1}) =u[i\times h,(n+1)\times\Delta t]=u_{i}^{n}$$ (2.5)

2.2.1 Différenciation décentrée avancée

L'idée de base de la méthode des différences finis peut être décrite en considérant la définition de la dérivée d'une fonction $u(x,t)$ au point $x=x_{0}$ et à l'instant $t=t_{0}.$

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\frac{u(x_{0}+h,t_{0})-u(x_{0},t_{0})}{h}$$ (2.6)

Si $u(x,t)$ est continue, on peut s'attendre à ce que l'équation (2.6) soit une approximation ”raisonnable” de $\frac{\partial u}{\partial x}$ si $h$ est suffisamment petit. Le développement en série de Taylor de $u(x_{0}+h,t_{0})$ autour du point $\left(x_{0},t_{0}\right)$ donne :

$$u(x_{0}+h,t_{0}) = u(x_{0},t_{0})+\left.\frac{h}{1!}\frac{\partial u}{\partial x}\ri... ...ac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right\vert _{\left(x_{0},t_{0}\right)}+\cdots$$ (2.7)

$$+\left.\frac{h^{n-1}}{\left(n-1\right)!}\frac{\partial^{n-1}u}{\p... ...+\left.\frac{h^{n}}{n!}\frac{\partial^{n}u}{\partial x^{n}}\right\vert _{\zeta}$$ (2.8)

où $x_{0}\leq\zeta\leq\left(x_{0}+h\right)$ et où le dernier terme peut être identifié comme étant le reste. Nous pouvons alors former les différences avancées en réarrangeant l'équation (2.7).

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{\left(x_{0},t_{0... ...{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right\vert _{\left(x_{0},t_{0}\right)}+O(h^{2})$$ (2.9)

En passant à une notation $\left(i,n\right)$ nous pouvons écrire :

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}=\underset... ...\frac{h}{2!}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right\vert _{i}^{n}+O(h^{2})}}$$ (2.10)

On peut aussi écrire l'équation (2.10) comme suit :

$${\color{red}\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}=\frac{u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{h}+\underset{\text{ET}}{\underbrace{O(h)}}}$$ (2.11)

L'écriture de l'erreur de troncature en $O\left(h\right)$ implique que $\left\vert ET\right\vert\leq Cte\times h$ pour $h\rightarrow0$ et $Cte>0.$

Remarque : $O(h)$ ne nous indique pas le comportement exacte de la solution (la dérivée première dans ce cas), mais seulement la tendance lorsque $h\rightarrow0.$

D'autres représentation de la dérivée première peuvent être obtenues à partir de développement en série de Taylor.

2.2.2 Différenciation décentrée retardée.

Un développement en série de Taylor de $u(x_{0}-h,t_{0})$ :

$$u(x_{0}-h,t_{0})=u(x_{0},t_{0})-\left.\frac{h}{1!}\frac{\partial ... ...ac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}\right\vert _{\left(x_{0},t_{0}\right)}+\cdots$$ (2.12)

permet de définir l'approximation décentrée retardée:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{\left(x_{0},t_{0... ...{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right\vert _{\left(x_{0},t_{0}\right)}+O(h^{2})$$ (2.13)

$${\color{red}\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}=\frac{u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{h}+O(h)}$$ (2.14)

2.2.3 Différenciation centrée

En faisant la différence entre l'équation (2.11) et l'équation (2.14), nous obtenons l'expression de la différenciation centrée qui s'écrit :

$${\color{red}\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}=\frac{u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2h}+O(h^{2})}$$ (2.15)

2.2.4 Discrétisation de la dérivée seconde

Soit le développement avancé en série de Taylor :

$$u(x_{0}+h,t_{0})=u(x_{0},t_{0})+\left.\frac{h}{1!}\frac{\partial ... ...ac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}\right\vert _{\left(x_{0},t_{0}\right)}+\cdots$$ (2.16)

De même le développement retardé en série de Taylor s'écrit :

$$u(x_{0}-h,t_{0})=u(x_{0},t_{0})-\left.\frac{h}{1!}\frac{\partial ... ...ac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}\right\vert _{\left(x_{0},t_{0}\right)}+\cdots$$ (2.17)

La somme des l'équation (2.16) et (2.17) donne :

$${\color{red}\left.\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right\vert _{i}^{n}=\frac{u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{h^{2}}+O(h^{2})}$$ (2.18)

2.2.5 Opérateur de différenciation

On définit maintenant les opérateurs de différenciation décentrée avancée et retardée:

$${\color{red}\Delta_{x}u_{i}^{n}=u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}$$ (2.19)

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}=\frac{\Delta_{x}u}{h}+O(h)$$ (2.20)

$${\color{red}\nabla_{x}u_{i}^{n}=u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}$$ (2.21)

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}=\frac{\nabla_{x}u}{h}+O(h)$$ (2.22)

Les opérateurs de différenciation centrée s'écrivent :

$${\color{red}\delta_{x}u_{i}^{n}=u_{i+\frac{1}{2}}^{n}-u_{i-\frac{1}{2}}^{n}}$$ (2.23)

$$\delta_{x}^{2}u_{i}^{n}=\delta_{x}\left(\delta_{x}u_{i}^{n}\right)=u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}$$ (2.24)

et l'opérateur moyenne :

$$\mu_{x}(u_{i}^{n})=\overline{(u_{i}^{n})}=\frac{1}{2}\left(u_{i+\frac{1}{2}}^{n}+u_{i-\frac{1}{2}}^{n}\right)$$ (2.25)

$$\overline{(\delta_{x}u_{i}^{n})}=\overline{\delta}_{x}u_{i}^{n}$$

$${\color{red}\overline{\delta}_{x}u_{i}^{n}=\frac{1}{2}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n})}$$ (2.26)

Il est intéressant d'avoir des opérateurs spécifiques pour certaines différences centrées. Deux de ces opérateurs peuvent s'écrire en fonction des opérateurs données ci-dessus.

$$\overline{\delta}_{x}u_{i}^{n}=\frac{1}{2}(\Delta_{x}u_{i}^{n}+\nabla_{x}u_{i}^{n})$$ (2.27)

$$\delta_{x}^{2}=\Delta_{x}u_{i}^{n}-\nabla_{x}u_{i}^{n}=\Delta_{x}\nabla_{x}u_{i}^{n}$$ (2.28)

En utilisant ces nouveaux opérateurs, les différences centrées pour la dérivée première s'écrivent :

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}=\frac{u_{... ...{n}-u_{i-1}^{n}}{2h}+O(h^{2})=\frac{\overline{\delta}_{x}u_{i}^{n}}{h}+O(h^{2})$$ (2.29)

et pour la dérivée seconde :

$$\left.\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right\vert _{i}^{n}=\f... ...{n}+u_{i-1}^{n}}{h^{2}}+O(h^{2})=\frac{\delta_{x}^{2}u_{i}^{n}}{h^{2}}+O(h^{2})$$ (2.30)

Les opérateurs de différenciation avancée ou retardée, d'ordre plus élevé sont définis en appliquant successivement ces opérateurs :

$$\delta_{x}^{n}u_{i}^{n}=\delta_{x}(\delta_{x}^{n-1}u_{i}^{n})$$

$$\Delta_{x}^{n}u_{i}^{n}=\Delta_{x}\left(\Delta_{x}^{n-1}u_{i}^{n}\right)$$ (2.31)

$$\nabla_{x}^{n}u_{i}^{n}=\nabla_{x}\left(\nabla_{x}^{n-1}u_{i}^{n}\right)$$ (2.32)

Exemple :

$$\frac{\delta_{x}^{2}u_{i}^{n}}{h^{2}}=\frac{\... ...rac{1}{2}}^{n})}{h^{2}}=\frac{u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{h^{2}}$$

$$\frac{\Delta_{x}^{2}u_{i}^{n}}{h^{2}}=\frac{\Delta_{x}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}\right)}{h^{2}}=\frac{u_{i+2}^{n}-2u_{i+1}^{n}+u_{i}^{n}}{h^{2}}$$ (2.33)

On peut écrire d'une façon générale la discrétisation d'une dérivée d'ordre $m$ , en utilisant ces différents opérateurs, nous obtenons alors :

$$\left.\frac{\partial^{m}u}{\partial x^{m}}\right\vert _{i}^{n}\approx\left(\frac{\Delta_{x}^{m}}{h^{m}}\right)u_{i}^{n}$$ (2.34)

Exemple 1:

$m=4$ ,

$$\left.\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}\right\vert _{i}^{n}\approx\left(\frac{\Delta_{x}^{4}}{h^{4}}\right)u_{i}^{n}$$ (2.35)

Exemple 2:

discrétisation décentrée d'ordre 2

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n} =\frac{1}{h}(u_{i+1}-u_{i})-\frac{h}{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+O(h^{2})$$

$$=\frac{1}{h}\Delta_{x}u_{i}-\frac{1}{2h}\Delta_{x}^{2}u_{i}+O(h^{2})$$

$$\approx\frac{-3u_{i}+4u_{i+1}-u_{i+2}}{2h}$$

2.2.6 Discrétisations classiques

Notons que la plupart des équations de la mécanique contiennent des dérivées premières et secondes. Les expressions sur 3 points des dérivées premières les plus utilisées sont :

dérivée	opérateur D.F.	approximation D.F.	précision $\frac{\partial u}{\partial x}^{}$

Pour la dérivée seconde :

dérivée	opérateur D.F.	approximation D.F.	précision $\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$

2.2.7 Schémas d'ordre élevé (schéma compacte)

Pour obtenir des schémas d'ordre plus élevé, on peut augmenter le nombre de points de calcul, mais on peut aussi conserver des schémas compactes en introduisant des inconnues supplémentaires

schéma compacte pour la dérivée première

On choisie comme inconnues les dérivées $\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}=v_{i}^{n}$ . Les développements en série de Taylor de $u_{i+1}^{n}$ et $u_{i-1}^{n}$ s'écrivent:

$$u_{i+1}^{n}=u_{i}^{n}+h\frac{\partial u}{\par... ...^{3}}+\frac{h^{4}}{24}\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}+\theta(h^{5})$$

$$u_{i-1}^{n}=u_{i}^{n}-h\frac{\partial u}{\par... ...^{3}}+\frac{h^{4}}{24}\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}+\theta(h^{5})$$

d'où l'approximation à l'ordre $h^{4}$ de $\frac{\partial u}{\partial x}$

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\underbrace{\fr... ...{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}}_{v_{i}^{n}}+O(h^{4})=v_{i}^{n}+O(h^{4})$$

On note que $\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}$ est la dérivée seconde de $v_{i}^{n}$ et peut être approximée par

$$\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}\approx\frac{\delta^{2}v_{i}^{n}}{h^{2}}+\theta(h^{2})$$

d'où la relation

$$v_{i}^{n}=\frac{\overline{\delta}_{x}u_{i}^{n}}{2h}-\frac{\delta^... ...sto(1+\frac{1}{6}\delta^{2})v_{i}^{n}=\frac{\overline{\delta}_{x}u_{i}^{n}}{2h}$$ (2.36)

qui s'écrit:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}\approx v_... ...overline{\delta}_{x}u_{i}^{n}}{1+\frac{1}{6}\delta^{2}}\right)+ \theta(h^{4})}$$ (2.37)

L'équation (2.36) fournit une relation implicite pour le calcul de $v_{i}^{n}$ qui peut donc être déterminée en résolvant le système algébrique tri-diagonale (les $u_{i}^{n}$ étant supposées connues):

$$\left[\begin{array}{ccccc} \ddots & \ddots\ ... ...\ \frac{u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2h}\\ \vdots\\ \ \end{array}\right]$$

soit

$$\frac{1}{6}(v_{i-1}^{n}+4v_{i}^{n}+v_{i}^{n})=\frac{u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2h}$$

schéma compacte pour la dérivée seconde

En posant $\left.\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right\vert _{i}^{n}=$ $w_{i}^{n}$ , on peut obtenir une approximation d'ordre 4 de la dérivée seconde:

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\underbr... ...{4}u}{\partial x^{4}}}_{w_{i}^{n}}+\theta(h^{4})=w_{i}^{n}+\theta(h^{4})$$

dans laquelle on calcule $\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}$ avec une approximation de la dérivée seconde de $v_{i}^{n}$ :

$$\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}=\frac{\delta^{2}v_{i}^{n}}{h^{2}}+\theta(h^{2})$$

D'où le schéma compact pour la dérivée seconde:

$$\left.\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right\vert _{i}^{n}\ap... ...ac{\delta_{x}^{2}u_{i}^{n}}{1+\frac{1}{12}\delta_{x}^{2}}\right)+\theta(h^{4})}$$ (2.38)

qui nécessite aussi la résolution d'un système tri-diagonal pour déterminer les $v_{i}^{n}$

Dérivée	opérateur D.F.	approximation DF	ordre $\frac{\partial u}{\partial x}_{}^{}$

schéma d'ordre élevé sur plusieurs points

Des relations pouvant impliquer plus de trois points de maillage peuvent être obtenues en utilisant des développements en série de Taylor de $u_{i+2}^{n}$ , $u_{i+1}^{n}$ , $u_{i-1}^{n}$ et $u_{i-2}^{n}$ , ou en corrigeant l'erreur de troncature des schémas précédents. Par exemple le schéma décentré amont d'ordre 1:

$$\frac{\Delta_{x}^{2}u_{i}^{n}}{h^{2}}=\frac{\... ...2}u}{\partial x^{2}}+h\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}+\theta(h^{2})$$

peut conduire à un schéma à l'ordre 2:

$$\frac{\Delta_{x}^{2}u_{i}^{n}}{h^{2}}-\frac{\... ...^{3}u_{i}^{n}}{h^{2}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\theta(h^{2})$$

Le tableau ci-dessous donne quelques une de ces relations :

Dérivée	opér. D.F.	approximation DF	ordre $\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}$

2.2.8 Discrétisation des dérivées en temps

La discrétisation des dérivées en temps procède de la même démarche. En utilisant des développements de Taylor en temps de $u_{i}^{n+1}$ au voisinage de $u_{i}^{n}$ , on obtiens les formules classiques:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\vert _{i}^{n}=\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}+\theta(\Delta t)$$

$$\left.\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\ri... ...c{u_{i}^{n+1}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta t^{2}}+\theta(\Delta t^{2})$$

Le tableau ci dessous donne les approximations classiques des dérivées en temps

Dérivée	opérateur D.F.	approximation DF	ordre $\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\vert _{i}^{n}$