2.3 Polynôme d'interpolation

Une autre façon de construire des approximations de dérivée est d'utiliser un polynôme d'interpolation, puis de le dériver.

2.3.1 Polynôme d'interpolation de Lagrange

Soient $n+1$ points d'interpolation $\{x_{i}\}$ associés à $n+1$ valeurs $\{f_{i}\}$

théorème:

il existe un polynôme unique de degré au plus n passant par les $n+1$ point d'interpolations $\{x_{i}\}$ , i.e. tel que $P_{n}(x_{i})=f_{i}$ pour $i=0,n$ .

décomposition sur la base de Lagrange

soit $P^{n}$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\leq n$

soit $L_{k}(x)$ le polynôme de Lagrange de $P^{n}$ t.q. $L_{k}(x_{i})=\delta_{ij}$

$L_{k}(x)$ possède n zéros $x_{j}$ pour $j=0,n j\neq k$ et vaux

$$L_{k}(x)=\frac{\prod_{i=0,i\neq k}^{n}(x-x_{i})}{\prod_{i=0,i\neq k}^{n}(x_{k}-x_{i})}$$

les $\{L_{k}(x)\}_{(k=0,n)}$ forment une base de $P^{n}$

Polynôme d'interpolation de Lagrange

le polynôme d'interpolation passant par les $n+1$ points d'interpolation $\{x_{k}\}$ associés à $n+1$ valeurs $\{f_{k}\}$ vérifie:

$${\color{red}P_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}f_{k}*L_{k}(x)}$$ (2.39)

2.3.2 Estimation de l'erreur

L'erreur entre la fonction exacte $f(x)$ et son polynôme d'interpolation $p(x)$ est donnée par le théorème suivant:

théorème:

Soit $f(x)\in C^{n+1}[a,b]$ et $P_{n}(x)$ le polynôme d'interpolation de f(x) passant par les n+1 points $\{x_{i},f_{i}=f(x_{i})\}$ , alors :

$$f(x)-P_{n}(x)=\frac{\prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})}{(n+1)!}f^{n+1}(\xi)$$ avec $$\xi\in[a,b]$$

démonstration:

 

Soit $K(x)=\frac{f(x)-p(x)}{\prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})}$ et $W(t)=f(t)-P_{n}(t)-K(x)*\prod_{i=0}^{n}(t-x_{n})$

W(t) s'annule en n+2 points : $x_{i}$ (i=0,n) et x
donc W'(t) s'annule en n+1 points (théorème de Rolle)
donc $W^{n+1}(t)$ s'annule une fois en $\xi\in[a,b]$

$$W^{n+1}(\xi)=f^{n+1}(\xi)-(n+1)!*K(x)=0$$

$$\leadsto f(x)=P_{n}(x)+\frac{\prod_{i=0}^{n}(x-x_{i})}{(n+1)!}*f^{n+1}(\xi)$$

Pour des points équi-répartis $\{x_{i}=x_{0}+ih\}$ , en notant $h=x_{i+1}-x_{i}$ , l'erreur d'interpolation pour un polynôme de degré $n$

$$\left\vert f(x)-P_{n}(x)\right\vert\leq\frac{... ...\vert}{(n+1)!}\underset{x\in[a,b]}{\sup}\left\vert f^{n+1}(x)\right\vert$$

soit une erreur en $\theta(h^{n+1})$

$$\left\vert f(x)-P_{n}(x)\right\vert\leq Ch^{n+1}$$

2.3.3 Exemple

Le polynôme d'interpolation $p_{1}(x)$ de degré 1 passant par les points $\{x_{i+1}\„x_{i}\}$ s'écrit:

$$p_{1}(x)=u_{i}\frac{(x-x_{i+1})}{h}+u_{i+1}\frac{(x_{i+1}-x)}{h}$$ (2.40)

Le polynôme d'interpolation $p_{2}(x)$ de degré 2 passant par les points $\{x_{i+1}\„x_{i}, x_{i-1}\}$ s'écrit:

$$p_{2}(x) = u_{i-1}\frac{(x-x_{i})(x-x_{i+1})}{2h^{2}}$$ (2.41)

$$- u_{i}\frac{(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})}{h^{2}}$$

$$+ u_{i+1}\frac{(x-x_{i-1})(x-x_{i})}{2h^{2}}$$

2.3.4 Dérivation du polynôme d'interpolation

Partant de l'expression du polynôme d'interpolation de Lagrange $P_{n}(x)$ aux points de collocations $\{x_{i}\}$

$$P_{n}(x) =\sum_{i=0}^{n}u_{i}L_{i}(x) L_{i}(x)=\prod_{k=0,k\neq i}^{n}\frac{(x-x_{k})}{(x_{i}-x_{k})}$$

La dérivée première est:

$$P_{n}^{(1)}(x)=\sum_{i=0}^{n}u_{i}L_{i}^{(1)}(x) L_{i}^{(1)}(x)=\frac{\sum_{k=0,k\neq i}^{n}\left(\prod_{l=0,l\neq k,l\neq i}^{n}(x-x_{l})\right)}{\prod_{k=0,k\neq i}^{n}(x_{i}-x_{k})}$$ (2.42)

et la dérivée seconde:

$$P_{n}^{(2)}(x)=\sum_{i=0}^{n}u_{i}L_{i}^{(2)}(x) L_{i}^{(2)}(x)=\frac{\sum_{k=0,k\neq i}^{n}\left(\sum_{l=0... ...eq k,m\neq i}^{n}(x-x_{m})\right)\right)}{\prod_{k=0,k\neq i}^{n}(x_{i}-x_{k})}$$ (2.43)

Ces expressions permettent d'évaluer les valeurs des dérivées aux points de collocation $x_{i}$ .

Dérivée d'ordre 1

Si on dérive le polynôme $p_{2}(x)$ (2.41), on obtiens un formule équivalente à la dérivée centrée d'ordre 2 (2.15)

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}\approx P_{2}^{(1)}(x_{i})=\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}$$

De même, on dérive le polynôme $p_{1}(x)$ (2.40), on obtiens un formule équivalente à la dérivée décentrée d'ordre 1 (2.11)

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}\approx P_{1}^{(1)}(x_{i})=\frac{u_{i+1}-u_{i}}{h}$$

Dérivée d'ordre 2

La dérivée seconde du polynôme d'interpolation $p_{2}(x)$ de degré 2:

$$\left.\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\ri... ...rt _{i}\approx P_{2}^{(2)}(x_{i})=\frac{u_{i+1}-2u{}_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}$$

2.3.5 Matrice de dérivation

Les expressions (2.42),(2.43), très lourdes à manipuler, s'avèrent utiles pour évaluer les valeurs des dérivées aux points de collocation $x_{i}$ . Le polynôme $P_{n}(x)$ est une combinaison linéaire des valeurs nodales $u_{i}$ , donc il en est de même pour toutes ses dérivées $P_{n}^{(d)}$ . Les valeurs nodales de ces dérivées $u_{i}^{(d)}=P_{n}^{(d)}(x_{i})$ s'expriment ainsi comme combinaisons linéaires des $u_{i}$ . Ce système peut donc s'écrire sous la forme matricielle:

$$D_{n}^{(d)}U=U_{i}^{(d)}$$

où $U^{(d)}=\{u_{i}^{(d)}\}$ et $U=\{u_{i}\}$ sont les vecteurs contenant respectivement les valeurs aux points de collocation des dérivées (d'ordre $d$ ) $u_{i}^{(d)}$ et des valeurs nodales $u_{i}$ , et $D_{n}^{(d)}$ est la matrice de dérivation (d)ème dont les éléments sont:

$$D_{i,j}^{(d)}=L_{j}^{(d)}(x_{i})$$

Ainsi, pour un stencil de 3 points équi-distants (espacés de $h$ ) $\{x_{i-1},x_{i},x_{i+1}\}$ , les matrices de dérivation d'ordre 1 $D^{(1)}$ et d'ordre 2 $D{}^{(2)}$ s'écrivent:

$$D^{(1)}=\frac{1}{2h}\left[\begin{array}{ccc} -3 & 4 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -4 & 3\end{array}\right]$$

$$D^{(2)}=\frac{1}{h^{2}}\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & -2 & 1\end{array}\right]$$

On retrouve les formules de dérivée centrée d'ordre 1 et d'ordre 2 en calculant la dérivée au noeud milieu $x_{i}$ : pour la dérivée première $u_{i}^{(1)}=D_{2,i}^{(1)} [u_{i-1},u_{i},u_{i+1}]^{t}$ et la dérivée seconde $u_{i}^{(2)}=D_{2,i}^{(2)} [u_{i-1},u_{i},u_{i+1}]^{t}$