2.4 Exemple d'obtention de formules de discrétisation

2.4.1 Exemple 1

Supposons que nous cherchons à déterminer l'approximation en DF de la dérivée première $\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}$ avec une erreur de troncature de l'ordre de $O(h^{2}),$ en utilisant trois points consécutifs à savoir $u_{i}^{n},$ $u_{i-1}^{n}$ et $u_{i-2}^{n}$ .

Il existe plusieurs façon d'obtenir le résultat:

• en utilisant des combinaisons linéaires de développement en série de taylor de $u_{i-1}$ et $u_{i-2}$
• en utilisant les opérateurs de dérivations décentrées retardées $\nabla_{x}$
• en utilisant la dérivée du polynôme d'interpolation passant par les points $x_{i}$ , $x_{i-1}$ , $x_{i-2}$

En utilisant les développements en série de Taylor de $u_{i-1}^{n}$ et $u_{i-2}^{n}$ autour du point $(ih,n\Delta t)$ , il vient:

$$u_{i-2}^{n}=u_{i}^{n}+(-2h)\left.\frac{\partial u}{\partial x}\ri... ...)^{3}}{3!}\left.\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}\right\vert _{i}^{n}+\ldots$$ (2.44)

$$u_{i-1}^{n}=u_{i}^{n}+(-h)\left.\frac{\partial u}{\partial x}\rig... ...)^{3}}{3!}\left.\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}\right\vert _{i}^{n}+\ldots$$ (2.45)

Après substitution et ré-arrangement, on peut en déduire l'expression suivante :

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}=\frac{u_{... ...}{2h}+h\left.\frac{\partial u^{2}}{\partial x^{2}}\right\vert _{i}^{n}+O(h^{2})$$ (2.46)

En remplaçant dans l'équation (2.44) $h\left.\frac{\partial u^{2}}{\partial x^{2}}\right\vert _{i}^{n}$ , par son expression tirée de l'équation (2.45), nous obtenons la relation recherchée. Nous pouvons procéder, pour obtenir cette relation, par combinaison des équations de la manière suivante :

$$a\times$$(2.44)$$+b\times$$(2.45)

• Si $-2a-b=1,$ alors le coefficient devant $h\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}$ serait égal à $1$ après l'addition.
• Si $2a+\frac{b}{2}=0$ , alors le terme $\left.\frac{\partial u^{2}}{\partial x^{2}}\right\vert _{i}^{n}$ qui contribue à l'erreur de troncature par $O(h)$ serait éliminé. La solution des équations :
  

  $$-2a-b = 1$$

  $$2a+\frac{b}{2} =$$ 0

  
  

  donne $a=\frac{1}{2}$ et $b=-2.$

  de sorte que l'équation

  $$\frac{1}{2}$$(2.44)$$+(-2)$$(2.45)
  donne :
  $$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n}=\frac{1}{2h}\left(u_{i-2}^{n}-4u_{i-1}^{n}+3u_{i}^{n}\right)+O(h^{2})$$

En utilisant les opérateurs décentrés, cette relation peut aussi s'interpréter comme une correction de l'approximation décentrée retardée:

$$\frac{\nabla_{x}u_{i}^{n}}{h}=\frac{u_{i}^{n}... ...}\left.\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right\vert _{i}^{n}+O(h^{3})$$

que l'on peut corriger à l'ordre 2:

$$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{i}^{n} =\frac{\nabla_{x}u_{i}^{n}}{h}+\frac{h}{2}\frac{\nabla_{x}^{2}u_{i}^{n}}{h^{2}}+O(h^{2})$$

$$=\frac{u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{h}+\frac{u_{i+2}^{n}-2u_{i-1}^{n}+u_{i}^{n}}{2h}+O(h^{2})$$

qui fournit la relation précédente

2.4.2 Exemple 2

Comme exemple plus élaboré, nous cherchons à développer l'approximation en DF pour la dérivée $\frac{\partial u}{\partial t}$ , avec une erreur $O(\Delta t^{2})$ , en utilisant une discrétisation à trois points centrée autour du point $\left(ih,n\Delta t\right)$ , c'est à dire en utilisant les variables $u_{i}^{n-1},$ $u_{i}^{n}$ et $u_{i}^{n+1}.$ Pour un maillage non uniforme, on adoptera les notations suivantes:

$$\Delta t_{+}=t_{n+1}-t_{n} et \Delta t_{-}=t_{n}-t_{n-1}.$$

Pour $\Delta t_{+}=\Delta t_{-}=\Delta t,$ nous avons :

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\ver... ...(\Delta t^{2})=\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n-1}}{2\Delta t}+O(\Delta t^{2})$$

Posons $\frac{\Delta t_{+}}{\Delta t_{-}}=\alpha$ et prenons une notation plus compacte $u_{t}=\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\vert _{i}^{n}$

$$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+\frac{(\alpha\Delta t_{-})}{1!}u_{t}+\frac{... ...ha\Delta t_{-})^{3}}{3!}u_{3t}+\frac{(\alpha\Delta t_{-})^{4}}{4!}u_{4t}+\ldots$$ (2.47)

$$u_{i}^{n-1}=u_{i}^{n}+\frac{(-\Delta t_{-})}{1!}u_{t}+\frac{(-\De... ...frac{(-\Delta t_{-})^{3}}{3!}u_{3t}+\frac{(-\Delta t_{-})^{4}}{4!}u_{4t}+\ldots$$ (2.48)

Comme précédemment, nous devons multiplier ces deux expressions par les coefficients $a$ et $b,$ additionner les deux relations puis extraire $\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\vert _{i}^{n}.$ En cherchant à imposer le coefficient devant $\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\vert _{i}^{n}$ égal à $1$ , après l'addition, on obtient :

$$\alpha a-b=1$$

Par ailleurs, pour que le résultat finale possède une erreur de troncature $O(\Delta t^{2})$ ou supérieure, le coefficient devant $u_{tt}$ doit être égal à zéro après l'addition, ce qui exige que :

$$\alpha^{2}a+b=0$$

La solution de ces deux équations algébriques est :

$$a=\frac{1}{\alpha\left(\alpha+1\right)}$$ et  $$b=-\frac{\alpha}{\left(\alpha+1\right)}$$

Par conséquent

d'où le résultat

$$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\ver... ..._{i}^{n}-\alpha^{2}u_{i}^{n-1}}{\alpha\left(\alpha+1\right)\Delta t_{-}}$$