2.5 Equations discrétes et conditions aux limites

Ayant vu comment approcher les dérivées par des différences finies, l'approximation de l'équation à résoudre est obtenue en remplaçant les dérivées exactes par leurs approximations par différences finies.

Pour l'équation modèle (2.1), avec des différences finies centrées explicites, il vient l'équation discréte:

$$a\frac{u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{h^{2}}+b\frac{u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{h^{2}}+c\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}=f_{i}$$ (2.49)

Cette équation sera noté symboliquement

$$\mathcal{L}^{h}(u^{h})=f^{h}$$

Il reste cependant à appliquer les conditions aux limites sur la solution approchée. Pour les EDP du second ordre, les conditions aux limites peuvent être du type Dirichlet, Neuman ou Mixte.

2.5.1 condition de Dirichlet

Cette condition consiste à imposer la valeur de la solution sur la frontière: $u(x=0)=\alpha$ , ce qui est se traduit par l'imposition de la valeur nodale $u_{0}=\alpha$ .

2.5.2 condition de Neuman

Cette condition impose la valeur de la dérivée normale de la solution $\frac{\partial u}{\partial n}_{x=0}=\beta$ . Pour l'imposer en différences finies, il faut discrétiser cette condition de Neuman.

Nous étudierons deux façons d'imposer cette condition aux limites de type Neumann:

1. discrétisation décentrée de la condition aux limites:
   on approxime la condition aux limites par un schéma aux différences décentré faisant intervenir la valeur $u_{0}$ :
   

   $$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{0}\approx\frac{u_{1}-u_{0}}{\Delta x}=\beta$$ (2.50)

   
   
   d'où l'on déduit la valeur de la solution au noeud $i=0$
   

   $$u_{0}^{}=u_{1}^{}-\beta\Delta x$$ (2.51)

   
   
   On peut aussi utiliser des discrétisations sur 3 points (0,1,2), qui sont plus précises!
2. condition miroir:
   on utilise l'équation aux différences (2.49) au noeud $i=0$ . Dans cette équation apparaît la valeur inconnue $u_{-1}^{n}$ , que l'on calcule avec une condition miroir, traduction de la condition de symétrie:
   

   $$\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right\vert _{0}^{n}\approx\frac{u_{1}^{n}-u_{-1}^{n}}{2\Delta x}=\beta$$ (2.52)

   
   
   ce qui conduit à $u_{-1}^{n}=u_{1}^{n}-2\beta\Delta x$ et à l'équation suivante au noeud $i=0$
   
   $$a\frac{u_{1}^{n}-2u_{0}^{n}+u_{1}^{n}-2\beta h}{h^{2}}+b\beta+c\frac{u_{0}^{n+1}-u_{0}^{n}}{\Delta t}=f_{0}$$

2.5.3 condition mixte

Cette condition impose une relation entre la valeur et la dérivée normale de la solution:

$$\frac{\partial u}{\partial n}+\alpha u=\beta$$

Elle se traite en différences finies comme une condition de type Neuman, soit en discrétisant directement la condition aux limites, soit en introduisant un point fictif.

2.5.4 condition de périodicité

Si la solution est périodique en espace sur $[0,L]$ , elle vérifie alors les deux conditions:

$$u(0)=u(L)$$et   $$\frac{\partial u}{\partial x}(0)=\frac{\partial u}{\partial x}(L)$$

Ces conditions sont alors imposées en utilisant un point fictif pour $i=-1$ (condition miroir)

$$u_{N}=u_{0}$$et$$u_{-1}=u_{N-1}$$

ce qui fournit l'équation pour le noeud $i=0$ :

$$a\frac{u_{1}^{n}-2u_{0}^{n}+u_{N-1}^{n}}{h^{2}}+b\frac{u_{1}-u_{N-1}}{2h}+c\frac{u_{0}^{n+1}-u_{0}^{n}}{\Delta t}=f_{0}$$

2.5.5 remarque sur les conditions aux limites

• la précision globale du schéma dépend de la précision sur la discrétisation des conditions aux limites!