2.6 Convergence

Ayant construit une équation discréte $\mathcal{L}^{h}(u^{h})=f^{h}$ , il faut ensuite s'assurer que la solution approchée $u^{h}$ converge vers la solution exacte $u_{ex}$ lorsque les paramètres de discrétisations $h$ (pas en temps $\Delta t$ , pas en espace $\Delta x$ ) tendent vers zéro indépendamment!

$$\lim_{h\rightarrow0}\left\Vert u-u^{h}\right\Vert =0$$

L'étude directe de l'erreur $u-u^{h}$ peut être très compliqué et pas toujours possible. On va donc étudier d'autres propriétés de la discrétisation, qui vont permettre de conclure plus facilement.

2.6.1 consistance

La consistance caractérise la façon dont l'équation aux différences finies EDF ( $\mathcal{L}^{h}(u^{h})-f^{h}$ ) approche l'équation aux dérivées partielles EDP ( $\mathcal{L}(u)-f$ ).

consistance

un schéma aux différences finies est consistant à l'équation exacte si l'EDF tends vers l'EDP lorsque les pas de discrétisation $h$ (pas en espace et en temps) tendent vers zéro indépendamment.

Pour formaliser cette approche, notons $u_{ex}$ la solution exacte de l'EDP, i.e $u_{ex}$ vérifie l'équation exacte: $\mathcal{L}[u_{ex}]-f=0$ , et $u^{h}$ la solution de l'EDF, i.e. $u^{h}$ vérifie exactement l'équation discréte: $\mathcal{L}^{h}(u)-f^{h}=0$ . Nous allons calculer la différence $E_{t}$ , appelée erreur de troncature, entre l'EDP et l'EDF aux noeuds du maillage et pour la solution exacte $u_{ex}$ :

$$E_{t}=\mathcal{L}^{h}[u_{ex}(i\Delta x)]-f^{h}-\mathcal{L}[u_{ex}]_{(i\Delta x)}-f_{(i\Delta x)}$$

ce qui donne, compte tenu du fait que $\mathcal{L}[u_{ex}]-f=0$ et que $f^{h}=f(i\Delta x)$ (la valeur de $f^{h}$ est la valeur nodale du second membre $f$ )

$$E_{t}=\mathcal{L}^{h}[u_{ex}(i\Delta x)]-f^{h}$$

Cette différence est l'erreur de troncature du schéma aux différences finies, et corresponds donc à l'erreur commise lorsque l'on remplace la solution approchée $u^{h}$ par la solution exacte $u_{ex}$ aux noeuds du maillage $x_{i}=x_{0}+i\Delta x$ dans l'équation aux différences EDF.

consistance:

le schéma EDF est dit consistant à l'équation EDP si cette erreur de troncature tends vers zéro lorsque les pas de discrétisation $h$ (pas en temps $\Delta t$ et le pas en espace $\Delta x$ ) tendent vers zéro indépendamment.

$$\lim_{h\rightarrow0}E_{t}=\mathcal{L}^{h}[u_{ex}(i\Delta x)]-f^{h}=0$$

Pour calculer cette erreur de troncature, on développe la solution exacte $u_{ex}$ en série de Taylor autour de sa valeur aux noeuds, et on l'exprime en fonction des pas de discrétisation $h$ . Le schéma est alors consistant si cette erreur se comporte comme $h^{n}$ (avec $n\ge1$ ). Cette erreur de tronacture nous fournit aussi la précision du schéma.

ordre de précision:

on dit que le schéma différences finies est d'ordre $n$ en $h$

$$E_{t}\approx Ch^{n}$$avec $$n\ge1$$

Si le schéma dépend de plusieurs paramêtres (pas en temps $\Delta t$ et pas en espace $\Delta x$ ), on exprime bien entendu l'erreur de troncature en fonction de ces paramêtres:

$$E_{t}\approx C_{1}\Delta x^{n_{1}}+C_{2}\Delta t^{n_{2}}$$

La précision est alors d'ordre $n_{1}$ en espace et d'ordre $n_{2}$ en temps.

2.6.2 stabilité

La notion de stabilité ne s'applique qu'au cas de la discrétisation d'un problème dépendant du temps (problème parabolique ou hyperbolique). Elle s'applique donc à des schèmas, pour lesquels on calcule des solutions de façon itérative. Les calculs s'éffectuent sur des ordinateurs avec une précision finie, et donc sont sujet à des erreurs d'arrondis. Lors d'un calcul itératif, ces erreurs peuvent être amplifiées par le schèma numérique. Le but de l'étude de stabilité est donc de déterminer quelle est l'amplification des erreurs (ou perturbations) par le schèma.

stabilité

un schèma itératif est dit stable, si les perturbations de la solution numérique ne sont pas amplifiées au cours des itérations.

Soit $u_{i}^{n}$ la solution à l'étape $n$ et $u_{i}^{n+1}$ la solution à l'étape $n+1$ , l'équation aux différences ( $\mathcal{\mathcal{L}}^{h}(u^{h})=f^{h}$ ) s'écrit dans ce cas :

$$\mathcal{L}^{h}(u_{i}^{n+1},u_{i}^{n})=f^{h}$$

Soit $\epsilon_{i}^{n}$ une perturbation de la solution à l'étape $n$ . La solution perturbée $u_{i}^{n+1}+\epsilon_{i}^{n+1}$ à l'étape $n+1$ est solution de l'équation aux différences:

$$\mathcal{L}^{h}(u_{i}^{n+1}+\epsilon_{i}^{n+1},u_{i}^{n}+\epsilon_{i}^{n})=f^{h}$$

L'équation sur la perturbation est obtenue en effectuant la différence de ces 2 équations, et si le problème est linéaire, on obtiens l'évolution de la perturbation $\epsilon_{i}^{n}$ :

$$\mathcal{L}^{h}(\epsilon_{i}^{n+1},\epsilon_{i}^{n})=0$$ (2.53)

On décompose cette perturbation en tout point $x_{i}=i\Delta x$ du maillage et à tout instant $t_{n}$ sous la forme d'une série de modes de Fourier (en notant $I=\sqrt{-1}$ ):

$$\varepsilon_{i}^{n}=\sum\limits _{m=1}^{\infty}\psi_{m}^{n}e^{I\omega_{m}i\Delta x}$$ (2.54)

Le problème étant supposé linéaire, chacun des modes vérifie l'équation (2.53), qui s'écrit pour un mode $m$ :

$$\mathcal{L}^{h}(\psi_{m}^{n+1}e^{I\omega_{m}i\Delta x},\psi_{m}^{n}e^{I\omega_{m}i\Delta x})=0$$

De cette équation, il faut calculer le rapport d'amplification de l'amplitude du mode $m$ $\frac{\psi_{m}^{n+1}}{\psi_{m}^{n}}$ en fonction des paramêtres $\Delta t$ et $\Delta x$ . Le schéma est dit stable si les perturbations ne sont pas amplifiées.

Il faut donc déterminer à quelles conditions sur les paramêtres $\Delta t$ et $\Delta x$ ce rapport reste en module inférieure à 1 pour tous les modes (i.e. $\forall\omega_{m}$ ).

facteur d'amplification:

le facteur d'amplification $G$ d'un schéma différences finies itératif est définit par

$$G=\left\vert\frac{\psi_{m}^{n+1}}{\psi_{m}^{n}}\right\vert$$

stabilité:

un schéma itératif est dit stable (au sens de Von Neumann), si pour tous les modes $m$ possible de la perturbation, on a :

$$G<1 \forall\omega_{m}$$

On caractérise alors la stabilité d'un schéma de la façon suivante:

• Un schéma itératif est dit inconditionnellement stable, si la stabilité est vérifiée pour toutes les valeurs des paramêtres $\Delta t$ et $\Delta x$ . On peut donc choisir arbitrairement pour le calcul les valeurs des paramêtres $\Delta t$ et $\Delta x$ (le seul critère est alors un critère de précision)
• Un schéma itératif est dit conditionnellement stable, si la stabilité est vérifiée en imposant des conditions sur la valeurs des paramêtres $\Delta t$ et $\Delta x$ . Cette condition s'exprime sous la forme de nombre sans dimension appelé condition de stabilité. Pour le calcul les valeurs des paramêtres $\Delta t$ et $\Delta x$ doivent vérifier cette conditions de stabilité sous peine de divergence du processus itératif.
• Un schéma itératif est dit inconditionnellement instable, si la stabilité n'est jamais vérifiée. Un tel schéma est évidemment inutilisable.

2.6.3 convergence

Attention:

cette étude de convergence ne s'applique qu'à des problèmes linéaires !

On distingue deux cas:

2.6.3.1 schéma itératif en temps

On utilise un résultat d'analyse du à Lax (Richtmyer et Norton 1967):

Théorème de Lax

pour un problème linéaire aux valeurs initiales, la solution numérique d'un schéma itératif en temps aux différences finies converge vers la solution exacte si le schéma est consistant et stable.

La consistance et la stabilité d'un schéma sont en général beaucoup plus facile à étudier que sa convergence.

2.6.3.2 schéma en espace

Dans ce cas, seule la consistance est nécessaire pour assurer la convergence.