5.1 Equations aux dérivées partielles du premier ordre

Il s'agit d'une équation de la forme:

$$\sum_{i=1}^{N}a_{i}(x_{1},..,x_{n},u)\frac{\partial u}{\partial x_{i}}=f(x_{1},..,x_{n},u)$$ (5.1)

où $u(x_{1},..,x_{n})$ est la fonction inconnue des $n$ variables indépendantes $\{x_{i}\}_{i=1,n}$ . Les coefficients $\{a_{i}\}_{i=1,n}$ et le second membre $f$ peuvent dépendre explicitement de la fonction $u$ . Une telle équation n'est donc pas linéaire au sens des opérateurs puisque les $a_{i}$ dépendent de $u$ et $f$ n'est pas forcément linéaire en $u$ . Cependant, on peut se ramener simplement au cas linéaire en introduisant une fonction inconnue auxiliaire $v(x_{1},..,x_{n},u)$ .

5.1.1 Equation linéaire associée

Supposons que la solution de l'équation (4.53) soit donnée sous la forme implicite:

$$v(x_{1},..,x_{n},u)=0$$

Alors

$$\frac{\partial v}{\partial x_{i}}+\frac{\partial v}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x_{i}}=0 \forall i=1,n$$

En supposant que $\frac{\partial v}{\partial u}\neq0$ ( $v$ dépend bien de $u$ ):

$$\frac{\partial u}{\partial x_{i}}=-\frac{\partial v}{\partial x_{i}}/\frac{\partial v}{\partial u}$$

En reportant dans (4.53):

$$\sum_{i=1}^{N}a_{i}(x_{1},..,x_{n},u)\frac{\partial v}{\partial x_{i}}+f(x_{1},..,x_{n},u)\frac{\partial v}{\partial u}=0$$ (5.2)

qui est une équation linéaire pour la fonction $v$ des $n+1$ variables $(x_{1},...,x_{n},u)$ .

5.1.2 Intégrales premières d'un système différentielle ordinaire

Soit le système différentielle d'ordre n et d'inconnues $\{x_{i}(u)\}_{i=1,n}$ :

$$\frac{dx_{i}}{du}=g_{i}(x_{1},..,x_{n},u) \forall i=1,n$$ (5.3)

où $u$ est la variable inédpendante.

Au point $(a_{1},..,a_{n})$ pour $u=0$ , il passe une courbe $\Gamma$ (unique) solution du système différentiel, dont les équations sont de la forme:

$$x_{i}=\varphi_{i}(u,a_{1},...,a_{n})$$

Si on résoud ces $n$ équations par rapport aux $a_{i}$ :

$$a_{i}=v_{i}(x_{1},...,x_{n},u)$$

Le long de $\Gamma$ , les fonctions $v_{i}$ restent constantes. Ce sont les “intégrales premières” du système (4.55).

Considérons alors une fonction $v(x_{1},..,x_{n},u)$ et déterminons à quelle condition elle est une intégrale première de (4.55). Sur $\Gamma$ , $v$ vérifie:

$$v(\varphi_{1}(u,a_{1},...,a_{n}),...,\varphi_{n}(u,a_{1},...,a_{n}),u)=cste$$

Alors

$$\frac{\partial v}{\partial u}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial v}{\partial\varphi_{i}}\frac{d\varphi_{i}}{du}=0,$$et    $$\frac{d\varphi_{i}}{du}=\frac{dx_{i}}{du}=g_{i}$$

c'est à dire:

$$\frac{\partial v}{\partial u}+\sum_{i=1}^{n}g_{i} \frac{\partial v}{\partial x_{i}}=0$$ (5.4)

C'est l'équation des “intégrales premières” du sytème (4.55).

5.1.3 Solution générale

L'équation (4.54) sur la fonction $v$ des $n+1$ variables $(x_{1},...,x_{n},u)$ est une équation du type (4.56). Donc $v(x_{1},...,x_{n},u)$ est une intégrale première du système différentiel ordinaire:

$$\frac{dx_{i}}{du}=\frac{a_{i}}{f} \forall i=1,n$$

ou encore:

$$\frac{dx_{1}}{a_{1}}=...=\frac{dx_{n}}{a_{n}}=\frac{du}{f}$$ (5.5)

C'est le système différentiel caractéristique associé à (4.54).

Alors si les $\{v_{i}\}_{i=1,n}$ sont n intégrales premières distinctes, toute fonction $v=\mathcal{F}(v_{1},..,v_{n})$ est aussi une intégrale première, c'est à dire que $v$ est constant le long d'une courbe $\Gamma$ solution du système différentiel caractéristique.

Le long de $\Gamma$ , $\mathcal{F}(v_{1},..,v_{n})=cste$ soit $\Phi(x_{1},..,x_{n},u)=0$ , qui n'est autre que la solution générale de l'équation aux dérivées partielles (4.53) sous forme implicite.

5.1.4 Quelques exemples

5.1.4.1 example 1

Soit l'équation aux dérivées partielles

$$a\frac{\partial u}{\partial t}+b\frac{\partial u}{\partial x}=c$$ (5.6)

Le système différentiel caractéristique associé est:

$$\frac{dt}{du}=\frac{a}{c}, \frac{dx}{du}=\frac{b}{c}$$

ou

$$\frac{dt}{a}=\frac{dx}{b}=\frac{du}{c}$$

Le long de la direction caractéristique de pente $\frac{dx}{dt}=\frac{b}{a}$ , l'équation se réduit à:

$$\frac{du}{dt}=\frac{c}{a},$$et   $$\frac{du}{dx}=\frac{c}{b}$$

Il est possible d'intégrer l'équation (4.58) comme un système différentiel ordinaire le long d'une caractéristique, sauf si la condition initiale est fournie sur une ligne caractéristique.

Si $c=0$ (cas homogène), $u$ est alors constant le long des lignes caractéristique de pente $\frac{dx}{dt}=\frac{b}{a}$ .

5.1.4.2 example 2

Pour l'équation aux dérivées partielles suivante:

$$y\frac{\partial u}{\partial x}-x\frac{\partial u}{\partial y}=0$$ (5.7)

le système caractéristique associée s'écrit:

$$\frac{dx}{y}=-\frac{dy}{x}=\frac{du}{0}$$ (5.8)

Deux intégrales premières solutions de (4.60) sont $u$ et $x^{2}+y^{2}$ . La solution générale de (4.59) est donc $u=\mathcal{F}(x^{2}+y^{2})$ (surfaces de révolution).

5.1.4.3 example 3

Soit l'équation de transport d'un scalaire $u$ par un champ de vitesse $V$

$$\frac{\partial u}{\partial t}+V \frac{\partial u}{\partial x}=0$$ (5.9)

le système caractéristique associée s'écrit:

$$\frac{dt}{1}=\frac{dx}{V}=\frac{du}{0}$$

Les intégrales premières sont $u$ et la trajectoire $x=x(t)$ du champ de vitesse solution de $dx=Vdt$ . La solution générale de (4.61) est donc $u=cste$ le long des trajectoires du champ de vitesse.

Dans le cas d'un champ de vitesse constante $V=cste$ , les trajectoires sont les droites $x-Vt=cste$ et la solution générale s'écrit

$$u(x,t)=u_{0}(x-V t)$$

où $u_{0}$ est la solution initiale à $t=0$ .

Dans le cas d'un champ de vitesse uniformément accéléré $V=V_{0}t$ , les trajectoires sont des paraboles $x-\frac{V_{0}}{2}t^{2}=cste$ , et la solution générale s'écrit:

$$u(x,t)=u_{0}(x-\frac{V_{0}}{2}t^{2})$$