5.2 Equation aux dérivées partielles du second ordre

5.2.1 Equation quasi-linéaire en dimension 2

Soit l'équation aux dérivées partielles

$$a\frac{\partial u^{2}}{\partial x^{2}}+b\frac{\partial u^{2}}{\partial x\partial y}+c\frac{\partial u^{2}}{\partial y^{2}}+d=0 \Omega\subset\mathbb{R}^{2}$$ (5.10)

$u(x,y)$ est la fonction inconnue. Les coefficients $a$ , $b$ et $c$ dépendent de $x$ et $y$ ; le coefficient $d$ dépend de $x$ , $y$ , $u$ , $\frac{\partial u}{\partial x}$ , $\frac{\partial u}{\partial y}$ .

5.2.2 Directions caractéristiques

Posons de manière classique:

$$p=\frac{\partial u}{\partial x}, q=\fra... ...2}u}{\partial x\partial y}, t=\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}$$

et soit $\Gamma$ une courbe du domaine $\Omega$ .

Le long de $\Gamma$ , on a les relations suivantes:

$$dp = rdx+sdy$$ (5.11)

$$dq = sdx+tdy$$ (5.12)

$$-d = ar+bs+ct$$ (5.13)

En éliminant $r$ et $t$ dans (4.65) en utilisant (4.63) et (4.64), il vient:

$$s\left(a\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}-b\frac{dy}{dx}+c\right)-a\left(\left(a\frac{dp}{dx}+d\right)\frac{dy}{dx}+c\frac{dq}{dx}\right)=0$$ (5.14)

Si $\frac{dy}{dx}$ , pente de la courbe $\Gamma$ , vérifie:

$$a\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}-b\frac{dy}{dx}+c=0$$ (5.15)

l'équation (4.66) se réduit à une simple relation entre $\frac{dp}{dx}$ et $\frac{dq}{dx}$

$$\left(a\frac{dp}{dx}+d\right)\frac{dy}{dx}+c\frac{dq}{dx}=0$$ (5.16)

Le long d'une courbe $\Gamma$ de pente $\frac{dy}{dx}$ racine de (4.67), appelée “courbe caractéristique”, les dérivées $p$ et $q$ de la solution de l'équation aux dérivées partielles (4.62) sont liées par la relation (4.68), dite “relation caractéristique”.

Les deux racines de (4.67) définissent les directions caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles (4.62):

1. si elles sont réelles et distinctes ( $b^{2}-4ac>0$ ), il existe deux familles de courbes caractéristiques et l'équation (4.62) est dite de type hyperbolique,
2. si elles sont réelles et confondues ( $b^{2}-4ac=0$ ), il existe une seule famille de courbes caractéristiques et l'équation (4.62) est dite de type parabolique,
3. si elles sont imaginaires ( $b^{2}-4ac<0$ ), il n'existe pas de courbes caractéristiques et l'équation (4.62) est dite de type elliptique.

Remarque: une transformation de coordonnées ne change pas la nature de l'équation aux dérivées partielles.

5.2.3 Autre interprétation des directions caractéristiques

Soit l'équation aux dérivées partielles (4.62), supposons que sur une courbe $\Gamma$ de $\Omega$ on connait la fonction $u$ et sa dérivée normale $\frac{du}{dn}$ .

Peut on construire dans un voisinage de $\Gamma$ la solution $u(x,y)$ de (4.62)?

Pour cela, il est nécéssaire de pouvoir calculer toutes les dérivées partielles successives de $u$ sur $\Gamma$ (sous réserve de la régularité de la solution) pour construire le développement en série de Taylor. Soit $M$ un point de $\Gamma$ de coordonnées $(x,y)$ , au voisinage de $M$ la solution $u$ s'écrit:

$$u(x+dx,y+dy) = u(x,y)+\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{M}dx+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{M}dy$$

$$+ \frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\right)_{M}d... ..._{M}dxdy+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\right)_{M}dy^{2}$$

$$+ ....+\frac{1}{p!q!}\frac{\partial^{p+q}u}{\partial x^{p}\partial x^{q}}dx^{p}dy^{q}+....$$

Par hypothèse, on connait $u(x,y)$ sur $\Gamma$ , donc $u(M)$ et sa dérivée le long de $\Gamma$ : $(\frac{du}{ds})_{M}$ , ainsi que sa dérivée normale $(\frac{du}{dn})_{M}$ (on a noté $s$ l'abscisse curviligne le long de $\Gamma$ ).

Par changement de repère, on en déduit les 2 dérivées premières de $u$ en résolvant le système linéaire:

$$\left(\frac{du}{ds}\right)_{M} = +\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{M} \cos\alpha+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{M} \sin\alpha$$

$$\left(\frac{du}{dn}\right)_{M} = -\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{M} \sin\alpha+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{M} \cos\alpha$$

On a noté $\alpha$ l'angle polaire de la tangente unitaire $t$ à $\Gamma$ :

$$\frac{dx}{ds}=\frac{dy}{dn}=\cos\alpha, \frac{dy}{ds}=-\frac{dx}{dn}=\sin\alpha$$

Pour calculer les 3 dérivées secondes de $u$ , on