5.3 Equations différentielles

5.3.1 Propriétés générales

Equation différentielle d'ordre n:

Soit $x(t)$ une fonction inconnue de la variable$t$ . On désigne par :

$$\left\{ \begin{array}{ccc} x^{\left(1\right)} & = & \frac{dx}{dt}... ...large\cdots} x^{\left(n\right)} & = & \frac{d^{n}x}{dt^{n}}\end{array}\right.$$ (5.17)

les $n$ premières dérivées de cette fonction. On appelle Equation différentielle d'ordre $n$ , l'équation :

$$f(t,x(t),x^{(1)}\left(t\right),\ldots,x^{\left(n\right)}\left(t\right))=0$$ (5.18)

reliant les variables $t$ , $x\left(t\right),x^{\left(1\right)}\left(t\right),\ldots,x^{\left(i\right)}\left(t\right)$ avec $i=1,\ldots,n$ .

Système différentielle d'ordre n:

On appelle système différentiel un ensemble d'équations reliant la variable $t$ , un certain nombre de fonctions et certaines de leurs dérivées:

$$f_{j}\left(t,x(t),x^{(1)}(t),\ldots,x^{(n)}(t)\right)=0 j=1,\ldots,n$$ (5.19)

En particulier, une équation unique du type (4.70) peut être écrite sous forme d'un système différentiel. En effet, si on pose :

$$\left\{ \begin{array}{ccccc} x_{1} & = & x \frac{dx}{dt} & = & ... ...rac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} & = & \frac{dx_{n-1}}{dt} & = & x_{n}\end{array}\right.$$ (5.20)

L'équation (4.70) prend la forme :

$$f\left(t,x(t),x(t),\ldots,x_{n}(t),\frac{dx_{n}}{dt}\right)=0$$ (5.21)

et l'équation (4.70) est équivalente au système :

$$\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{ccc} \frac{dx_{1}}{dt} & =... ...array} f(x,x_{1}(t),\ldots,x_{n}(t),\frac{dx_{n}(t)}{dt})=0\end{array}\right.$$ (5.22)

Le système s'écrit sous la forme :

$$\frac{dx_{i}(t)}{dt}=f_{i}(t,x_{i}(t)) i=1,\ldots,n$$ (5.23)

qui est dite forme canonique.

5.3.2 Le problème de Cauchy

Soit le système canonique écrit sous la forme vectorielle

$$\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=f(t,\overrightarrow{x}(t)), \overrightarrow{x}(t)=\left\{ x_{1,}x_{2,}\ldots,x_{n}\right\} ^{T}$$ (5.24)

Le problème de Cauchy consiste à trouver la solution $\overrightarrow{x}(t)$ du système qui pour $t=t_{0}$ passe par le point donné $\overrightarrow{x_{0}}$ de coordonnées $\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right).$ La solution s'écrit alors sous la forme :

$$\overrightarrow{x}(t)=Q(t,\overrightarrow{x_{0}}) \overrightarrow{x_{0}}=\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)^{T} x_{i}(t_{0})=a_{i}$$ (5.25)

Si la solution est unique au voisinage de $\overrightarrow{x_{0}},$ le point correspondant à $t=t_{0}$ est dit régulier.

A chaque point régulier correspond une solution du système dépendant des $n$ coordonnées $a_{i}$ du point considéré. On l'appelle solution générale du système.

condition de Lipschitz:

On dit que la fonction vectorielle $\overrightarrow{f}(t,x)$ à valeurs dans $E,$ vérifie une condition de Lipschitz, si quelque soit $t$ $\in I=$ (intervalle de temps) et pour tout couple $\left(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\right)$ de vecteurs$\in D$ , nous avons l'inégalité suivante :

$$\parallel\overrightarrow{f}(t,x)-\overrightarrow{f}(t,y) \Vert\leq K\parallel\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y} \Vert$$ (5.26)

ou $K$ est une constante indépendante de$t.$

5.3.3 Propriétés plus générales qu'une condition de dérivation

• Si $E$ , un espace de dimension finie $n,$ et $f$ une fonction continûment dérivable par rapport à $y,$ alors $f$ est «localement Lipschitzienne»

  Démonstration :

  $$f(t,y_{2})-f(t,y_{1})=\left[\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(t,\eta\right)\right]\left(y_{2}-y_{1}\right)$$ (5.27)

  
  

  si $\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ est continue et bornée sur $E$ , alors $\exists K$ tq $\parallel\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(t,\eta\right)$ $\Vert<K$ $\Rightarrow\parallel\overrightarrow{f}(t,x)-\overrightarrow{f}(t,y)$ $\Vert\leq K\parallel y_{2}-y_{1}$ $\Vert$

• Si $E$ est de dimension finie et $f$ est une application linéaire continue:

  $$f(t,y)=L(t) y$$ (5.28)

  
  
  où $L$ est une application linéaire, alors $f$ est Lispschizienne.

Théorème: Théorème de Cauchy.
Soit $\left(t_{0},y_{0}\right)$ un point de $I\times E$ (où I est un intervalle de temps). Si $f$ est localement Lipschitzienne sur $E$ et continue, le problème de Cauchy associé au point $\left(t_{0},y_{0}\right)$ admet une solution unique.

5.3.4 Intégrales premières

Etude au voisinage d'un point régulier relatif au système différentiel canonique:

$$(s)\left\{ \begin{array}{lll} \frac{dx_{i}}{dt} & = & f_{i}\left(... ...x_{2},\ldots,x_{n}\right) x_{i}\left(t=0\right) & = & a_{i}\end{array}\right.$$ (5.29)

(où $f_{i}$ vérifie les conditions de Cauchy, car point régulier)

La solution de $\left(s\right)$ correspond à un point $M(t,x_{1}(t),\ldots,x_{n}(t)$ ) et décrit une courbe intégrale du système $\left(s\right).$

Par intégration, $x_{i}=Q(t,a_{1},a_{2},$ ..., $a_{n})$ ou encore $\overrightarrow{x}=Q\left(t,\overrightarrow{x_{0}}\right)$ avec $\overrightarrow{x_{0}}=\left\{ a_{i}\right\} .$ Inversement, on peut écrire (par inversion de la relation précédente)

$$\overrightarrow{x_{0}}=\overrightarrow{g}(t,\overrightarrow{x})$$ (5.30)

Le long de $\Gamma$ (courbe intégrale), la fonction $g$ reste constante.

Remarque:
On ne peut pas forcément expliciter $\overrightarrow{g}(t,\overrightarrow{x})=cte$ le long de $\Gamma$ intégrale, c'est à dire, pour $\overrightarrow{x}$ solution, nous avons $g_{i}\left(t,\overrightarrow{x}\right):$ $n$ intégrales premières indépendantes. La solution de $\left(s\right)$ passant par $M_{0}\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)$ à t=t $_{0}:$

$$\left\{ \begin{array}{ccc} g_{1}(t,x_{1}(t),\ldots,x_{n}) & = & g... ..._{1}(t),\ldots,x_{n}) & = & g_{2}(t,a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\end{array}\right.$$ (5.31)

Intégrale première:

On appelle intégrale première d'un système différentiel canonique, une fonction $g_{n}(t,\overrightarrow{x})$ qui reste constante sur une courbe $\left(\Gamma\right)$ intégrale. Sa valeur sur $\left(\Gamma\right)$ est déterminée et elle change lorsque l'on passe de la courbe $\left(\Gamma\right)$ à  une autre courbe intégrale correspondant à un autre point régulier.

5.3.5 Equations aux dérivées partielles satisfaites par les intégrales premières

Soit $g_{i}(t,x_{1}(t),\ldots,x_{n})=a_{i}$ une intégrale première le long de la courbe $\left(\Gamma\right)$ . Or le long de la courbe $\left(\Gamma\right)$ , la fonction inconnue $g_{i}$ est indépendante de $t$ car $\left(a_{i}=cte\right)$ .

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{d}{dt}g_{i}(t,x_{1}(t),\ldots,x_{n})=0 \text{le long de la courbe }\Gamma,\text{ }g_{i}=cte\end{array}\right.$$ (5.32)

Soit

$$\frac{\partial}{\partial t}g_{i}+\sum\limits _{j=1}^{n}\left(\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{j}}\right)\left(\frac{dx_{j}}{dt}\right)=0$$ (5.33)

or $\frac{dx_{j}}{dt}=f_{j}\left(t,x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right),$ d'où

$$\frac{\partial}{\partial t}g_{i}+\sum\limits _{j=1}^{n}\left(\fra... ...ial g_{i}}{\partial x_{j}}\right)f_{j}\left(t,x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=0$$ (5.34)

où (4.86) est une équation aux dérivées partielles linéaire du premier ordre.

Remarque : Si $g_{1},g_{2},$ ..., $g_{n}$ sont $n$ intégrales premières distinctes, toute fonction arbitraire $\Phi\left(g_{1},g_{2},\ldots,g_{n}\right)$ est une intégrale première. En effet :

$$\frac{d\Phi}{dt}=\sum\limits _{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\Phi}{... ...c{\partial g_{j}}{\partial x_{k}}\right)\left(\frac{dx_{k}}{dt}\right)\right)}}$$ (5.35)

5.3.6 Equations aux dérivées partielles quasi-linéaires au premier ordre.

Elle s'écrit :

$$\sum\limits _{i=1}^{n}f_{i}(x,u)\left(\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right)=s(x,u)$$ (5.36)

• $u(x)$ est la fonction inconnue de $x.$
• $f(x,u)$ et $s(x,u)$ sont des fonctions connues de $x$ et de $u$ .

Exemple : transport d'un scalaire $\theta$ par un champ de vitesse.

$$\frac{\partial\theta}{\partial t}+a\frac{\partial\theta}{dx}=\Psi$$ (5.37)

L'équation (4.88) n'est pas linéaire : $f$ est fonction de $u.$

5.3.6.1 Forme linéaire associée

Soit $\Phi\left(x,u(x)\right)=0$ , la solution implicite de l'équation aux dérivées partielles. Il vient en décrivant par rapport à $x_{i},i=1,\ldots,n.$

$$\frac{\partial\Phi}{\partial x_{i}}+\left(\frac{\partial\Phi}{\partial u}\right)\left(\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right)=0 \forall i=i=1,\ldots,n$$ (5.38)

Si l'on suppose que $\left(\frac{\partial\Phi}{\partial u}\right)\neq0$ (c'est à dire que $\Phi$ dépend bien de $u$ ), on obtient les expressions des dérivées :

$$\frac{\partial u}{\partial x_{i}}{\large =-}\frac{\frac{\partial\Phi}{\partial x_{i}}}{\frac{\partial\Phi}{\partial u}}$$ (5.39)

et en remplaçant dans (4.88), on obtient :

$$\sum\limits _{i=1}^{n}f_{i}(x,u)\left(\frac{\partial\Phi}{\partial x_{i}}\right)+s(x,u)\frac{\partial\Phi}{\partial u}=0$$ (5.40)

forme linéaire associée. On voit alors que $\Phi$ satisfait une équation du même type que l'équation pour les intégrales premières telle que l'équation (4.86) du système différentiel (4.75) $.$ La fonction $\Phi$ est donc elle même une intégrale première du système différentiel canonique :

$$\frac{dx_{i}}{du}=\frac{f_{i}}{s}$$ (5.41)

qui peut s'écrire encore :

$$\frac{dx_{i}}{f_{i}}=\frac{du}{s} \left\} \text{syst\\lq {e}me}\right.\text{diff\'{e}rentiel canonique}$$ (5.42)

système différentiel canonique $\Rightarrow$ système différentiel caractéristique.

5.3.7 Méthode de résolution d'une EDP quasi-linéaire du premier ordre.

• Ecrire l'équation caractéristique associée,
• rechercher la famille d'intégrales premières,
• solution implicite du problème :

  $$\Phi=\digamma\left(\Phi_{1},\ldots,\Phi_{n}\right)=0$$ (5.43)

  
  

• éventuellement en extraire une solution explicite.

5.3.7.1 Exemples: cas des équations linéaires

5.3.7.1.1 Cas général

Soit l'équation :

$$P(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+Q(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}=R(x,y,u)$$ (5.44)

Une solution $u=g(x,y)$ (explicite) ou $\Phi(x,y,u)$ (implicite) est dite intégrale de l'équation (4.96). On cherche une solution implicite $\Phi(x,y,u)$ comme intégrale première du système caractéristique :

$$\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{dx}{du} & = & \frac{P(x,y)}{R(x,... ...)}{R(x,y,u)}\end{array}\right.\Rightarrow\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{du}{R}$$ (5.45)

En utilisant les égalités de l'équation (4.97) nous pouvons écrire l'équation que vérifie $\Phi(x,y,u)$ :

$$\frac{d\Phi}{du}=0\Rightarrow\frac{\partial\Phi}{\partial u}+\fra... ...x}\right)+\frac{Q(x,y)}{R(x,y,u)}\left(\frac{\partial\Phi}{\partial y}\right)=0$$ (5.46)

5.3.7.2 Convection d'un scalaire par un champ de vitesse

Soit l'équation de convection mono-dimensionnelle suivante :

$$\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0$$

où $u(x,t)$ est la fonction inconnue.

• Système caractéristique associé $\left(\frac{dx_{i}}{f_{i}}=\frac{du}{s}\right)$ :
  $$\frac{dt}{1}=\frac{dx}{a}=\frac{du}{0}$$

• Intégrales premières de ce système différentiel
  $$\frac{dt}{1}=\frac{dx}{a}\Rightarrow x-at=cte$$
  $$\frac{du}{0}$$ fini $$\Rightarrow u=cte$$
  d'où
  $$\left\{ \begin{array}{lll} g_{1} & = & x-at\\ g_{2} & = & u\end{array}\right.$$

• Forme implicite de la solution
  $$\Phi\left(g_{1},g_{2}\right)=0\Rightarrow\Phi\left(u,x-at\right)=0$$
  On cherche la solution générale sous la forme
  • Explicite :
    $$u(x,t)=h(x-at)$$
    Cette solution est unique. A $t=0$ , nous avons $u(x,t=0)=u_{0}(x)$ $\rightarrow u_{0}(x)=h(x)$ , d'où
    $$u(x,t)=u_{0}(x-at)$$

5.3.8 Applications

5.3.8.1 Exercices

1. Intégrer l'équation aux dérivées partielles suivantes :

   $$\sum\limits _{k}x_{k}\frac{\partial u}{\partial x_{k}}=mu, m$$ (5.47)

   
   

2. Déterminer la solution générale de $u$ vérifiant l'équation aux dérivées partielles suivantes :

   $$xy^{2}\frac{\partial u}{\partial x}+x^{2}y\frac{\partial u}{\partial y}=(x^{2}+y^{2})u$$ (5.48)

   
   

3. Intégrer l'équation aux dérivées partielles suivante :

   $$\left(1+xy\right)\left(x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial y}\right)+\left(x^{2}+y^{2}\right)=0$$ (5.49)

   
   

4. Trouver la solution générale de l'équation suivante

   $$x_{2}x_{3}\frac{\partial u}{\partial x_{1}}+x_{1}x_{3}\frac{\part... ...}{\partial x_{2}}+x_{1}x_{2}\frac{\partial u}{\partial x_{3}}+x_{1}x_{2}x_{3}=0$$ (5.50)

   
   

5.3.8.2 Réponses

1. Le système caractéristique associé à l'équation (4.99) s'écrit :
   $$\frac{dx_{i}}{x_{i}}=\frac{du}{mu}\Rightarrow\frac{dx_{1}}{x_{1}}=\frac{dx_{2}}{x_{2}}=\ldots=\frac{dx_{n}}{x_{n}}=\frac{du}{mu}$$
   d'où on en déduit les intégrales premières :
   $$\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{dx_{1}}{x_{1}} & = & \frac{du}{mu}\end{array}\Rightarrow\frac{u}{x_{1}^{m}}=g_{1}\right.$$
   $$\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x_{2}}{x_{1}} & =cte= & g_{2} ... ...dots & \ldots & \ldots\\ \frac{x_{n}}{x_{1}} & =cte= & g_{n}\end{array}\right.$$
   La solution implicite s'écrit :
   $$\Phi=\digamma\left(g_{1},g_{2},\ldots,g_{n}\right)=0$$
   ou encore sous forme explicite :
   $$g_{1}=\frac{u}{x_{1}^{m}}=G(\frac{x_{2}}{x_{1}},\frac{x_{3}}{x_{1... ...=x_{1}^{m}G(\frac{x_{2}}{x_{1}},\frac{x_{3}}{x_{1}},\ldots,\frac{x_{n}}{x_{1}})$$

2. Le système différentiel caractéristique de l'équation (4.100) s'écrit :
   $$\frac{dx}{xy^{2}}=\frac{dy}{x^{2}y}=\frac{du}{\left(x^{2}+y^{2}\r... ...eft(x^{2}+y^{2}\right)u}\text{ }\left\} \left(2\right)\right.\end{array}\right.$$
   $\left(1\right)\Rightarrow xdx=ydy\Rightarrow$
   $$x^{2}-y^{2}=g_{1}$$
   $\left(2\right)\Rightarrow xdx=ydy\Rightarrow\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y}dy=\frac{du}{u}$ $\Rightarrow\frac{1}{y}dy+\frac{y^{2}}{x^{2}y}dy=\frac{du}{u}$ or $\frac{1}{x^{2}y}dy=\frac{dx}{xy^{2}}$ ce qui donne
   $$\frac{1}{y}dy+\frac{1}{x}dx=\frac{du}{u}\Rightarrow\frac{u}{xy}=g_{2}$$
   La solution implicite s'écrit :
   $$\Phi=\digamma\left(g_{1},g_{2}\right)=\digamma\left(x^{2}-y^{2},\frac{u}{xy}\right)$$
   ou encore $g_{2}=G\left(g_{1}\right)$ , ce qui donne
   $$u=xyG\left(x^{2}-y^{2}\right)$$

3. Le système différentiel caractéristique de l'équation (4.101) s'écrit :
   $$\underset{\left(a\right)}{\underbrace{\frac{dx}{x\left(1+xy\right... ...(1+xy\right)}}}=-\underset{\left(c\right)}{\underbrace{\frac{du}{x^{2}+y^{2}}}}$$
   $\left(a\right)=\left(b\right)\Rightarrow\frac{dx}{x}=-\frac{dy}{y}\Rightarrow xy=g_{1}\left(x,y\right)$

   $\left(a\right)=\left(c\right)\Rightarrow$
   

   $$-du = \left(x^{2}+y^{2}\right)\frac{dx}{x\left(1+xy\right)}$$

   $$= \frac{xdx}{\left(1+xy\right)}+\frac{y^{2}}{\left(1+xy\right)}\underset{-\frac{dy}{y}}{\underbrace{\left(\frac{dx}{x}\right)}}$$

   $$= \frac{xdx}{\left(1+xy\right)}-\frac{ydy}{\left(1+xy\right)}$$

   
   Or nous savons que le long de toute courbe solution $g_{1}(x,y)=cte$ , par conséquent :
   

   $$-du = \frac{xdx-ydy}{\left(1+\underset{g_{1}}{\underbrace{xy}}\right)}$$

   $$= \frac{1}{2}\frac{d(x^{2}-y^{2})}{1+g_{1}}$$

   
   Ce qui donne :
   $$u=-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{1+g_{1}(x,y)}\right)+g_{2}(x,y)$$
   ou
   $$u=-\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}-y^{2}}{1+xy}\right)+G(x,y)$$

4. Le système différentiel s'écrit :

   $$\frac{dx_{1}}{x_{2}x_{3}}=\frac{dx_{2}}{x_{1}x_{3}}=\frac{dx_{3}}{x_{1}x_{2}}=\frac{du}{x_{1}x_{2}x_{3}}$$ (5.51)

   
   
   Nous avons alors :

   $$x_{1}dx_{1}=x_{2}dx_{2}=x_{3}dx_{3}=-du$$ (5.52)

   
   

   $$-du=\frac{1}{3}\left(x_{1}dx_{1}+x_{2}dx_{2}+x_{3}dx_{3}\right)$$ (5.53)

   
   
   D'où l'on déduit

   $$\left\{ \begin{array}{llllll} -2x_{1}dx_{1} & + & x_{2}dx_{2} & +... ... & \frac{1}{3}x_{2}dx_{2} & + & \frac{1}{3}x_{3}dx_{3} & =-du\end{array}\right.$$ (5.54)

   
   
   d'où les intégrales premières :
   $$\left\{ \begin{array}{cccccccccc} -2x_{1}^{2} & + & x_{2}^{2} & +... ...1}{6}x_{2}^{2} & + & \frac{1}{6}x_{3}^{2} & + & u & = & g_{4}\end{array}\right.$$
   Les trois premières intégrales premières sont dépendantes. En effet :
   $$d\acute{e}t\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 & -2\end{array}\right)=0$$
   $\Rightarrow g_{1},g_{2}$ et $g_{3}$ linéairement dépendantes. Nous pouvons alors choisir comme intégrales premières $g_{1},g_{2}$ et $g_{4}$ . Ceci donne $U{2131}\left(g_{1},g_{2},g_{4}\right)=0$ ou encore $g_{4}=G\left(g_{1},g_{2}\right)$ c'est à dire :
   $$u=-\frac{1}{6}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+G\left(-2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2},x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)$$