3.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous étudierons les schémas de discrétisation par différences finies de problèmes classiques de type:

• parabolique (équation de la chaleur avec source),
• hyperbolique (équation de transport et équation des ondes),
• elliptique (équation de convection-diffusion stationnaire)

Nous introduirons les notions essentielles suivantes:

• stabilité (critère de stabilité),
• troncature (erreur de troncature et précision),
• diffusion numérique,
• dispersion numérique,
• oscillations numériques.

Nous analyserons avec Maple le comportement des schèmas à l'aide de la notion d'équation équivalente à l'équation aux différences finies et de l'analyse modale de la solution numérique. Nous validerons les approches à l'aide d'expérimentations numériques avec Matlab.

Nous terminerons par deux exemples de problèmes non linéaires: une équation de transport non linéaire (l'équation de Burgers) et un problème de conduction rayonnement dans une flamme.