0.1 Introduction

De nombreux modèles en Mécanique consiste en la résolution d'EDP (Équations aux Dérivées Partiels), dont on ne sait pas déterminer de solutions analytiques.

Considérons par exemple, le problème $(\mathcal{P}_{1})$ suivant:

trouvez la solution $u(x)$ de l'équation

$$\frac{d^{2}}{dx^{2}}u-f(x)=0 \forall x\in]0,1[ \textrm{\mbox{{ avec }}} f(x)=-e^{x(1-x)}$$ (0.1)

associée aux conditions aux limites:

$$u(0)=0, u(1)=0$$ (0.2)

Le problème $(\mathcal{P}_{1})$ n'admet pas forcément une solution analytique explicite^0.1 pour toutes les fonctions $f(x)$ . On va donc chercher une approximation $u^{h}$ de la solution exacte $u_{e}(x)$ de $(\mathcal{P}_{1})$ .

On notera symboliquement cette EDP sous la forme:

$$\mathcal{L}(u)=f \Omega$$ (0.3)

où $\mathcal{L}=\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ est l'opérateur différentiel, qui tient compte des conditions aux limites.

On notera aussi $\mathcal{R}(v)$ le résidu de l'équation pour une fonction $v(x)$

$$\mathcal{R}(v)=\mathcal{L}(v)-f$$

Ce résidu est évidemment nul pour la solution exacte $u_{e}$ : i.e. $\mathcal{R}(u_{e})=0$