0.2 Méthodes d'approximation

On cherche une solution approchée $u^{h}$ de (3). Cette solution approchée $u^{h}$ doit minimiser (au sens d'une certaine norme) de résidu $\mathcal{R}$ . Pour cela, il existe trois grandes classes de méthodes:

1. la méthode des résidus pondérés (dont fait partie la méthode des éléments finis):
   on construit un espace d'approximation $V^{h}$ de dimension $n$ avec une base $\{\phi_{i}(x)\}_{i=1,n}$ et on approxime la solution $u^{h}(x)=\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}\Phi_{j}(x)$ sur cette base. Les inconnues $\alpha_{j}$ sont déterminer de telles sorte que la norme du résidu soit minimum, i.e. que le résidu soit orthogonal à un espace de fonctions tests $W^{h}$ de base $\{w_{i}(x)\}_{i=1,n}$ :
   
   $$<\mathcal{R}(u^{h}),w_{i}>=0 \forall i=1,n$$
   qui conduit au système linéaire:
   
   $$\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}<\frac{d^{2}\phi_{j}(x)}{dx^{2}},w_{i}(x)>=<f(x),w_{i}(x)> \forall i=1,n$$
   En éléments finis, la méthode de Galerlin consiste à choisir $w_{i}=\phi_{i}$
2. la méthode des différences finies:
   on discrétise l'équation sur un maillage équi-réparti $\{x_{i}=ih\}$ en approchant les opérateurs différentielles aux noeuds par des différences en fonction des valeurs nodales $u_{i}$ :
   
   $$\left.\frac{d^{2}u}{dx^{2}}\right\vert _{i}\approx\frac{\frac{u_{i+1}-u_{i}}{h}-\frac{u_{i}-u_{i-1}}{h}}{h}$$
   puis en imposant que le résidu discret associée $\mathcal{R}^{h}$ s'annule aux noeuds du maillage
   
   $$\mathcal{R}^{h}(u^{h})_{i}=0 \forall i=1,n$$
   soit:
   
   $$\frac{u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}-f_{i}=0 \forall i=1,n$$
   Il suffit ensuite de résoudre ce système linéaire tri-diagonal pour déterminer les valeurs nodales $u_{i}$ de la solution approchée $u^{h}$
3. la méthode des volumes finies
   on discrétise le domaine $\Omega$ en volume élémentaire $C_{i}$ (cellule), et on écrit que la moyenne (intégrale) du résidu est nulle sur chaque cellule
   
   $$\int_{c_{i}}\mathcal{R}(u^{h}) dx=0 \forall i=1,n$$
   ce qui conduit à nouveau à un système linéaire sur la moyenne de $u^{h}$ sur chaque cellule: $\overline{u_{i}}$