1.2 Étude de l'équation de la chaleur

1.2.1 Problème physique: conduction dans une barre

Considérons le problème de la diffusion de la chaleur dans une barre homogène, de coefficient de conduction $\lambda$ , de masse volumique $\rho$ , de coefficient calorifique $C_{p}$ , de section $S$ et de longueur $L$ , sans production d'énergie interne $.$ En supposant que les deux extrémités sont maintenues à une température constante $T_{0}$ , l'équation de conservation de l'énergie s'écrit:

$$\rho C_{p}S\frac{\partial T}{\partial t}-\lambda S\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=0$$  pour $$x\in[0,L]$$

auquel on associe deux conditions aux limites $T(0,t)=T_{0}$ , $T(L,t)=T_{0}$ et une condition initiale $T(x,t)=T_{i}(x)$ .

1.2.2 Problème modèle

En effectuant le changement de variable $u=T-T_{0}$ , on obtient le problème modèle $(P_{1})$ suivant avec des conditions aux limites de type Dirichlet homogènes (c'est à dire que la valeur de $u$ est imposée égale à zéro aux extrémités $x=0$ et $x=L$ ):

$$(P_{1})\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t}=\ka... ...pour }t>0 u(x,0)=C(x) \mbox{}{pour }x\in\left[0,L\right]\end{array}\right.$$ (1.1)

Dans cette équation $\kappa=\frac{\lambda}{\rho C_{p}}$ est la diffusivité thermique du matériau, $u(x,t)$ la température relative, et $C(x)$ la répartition de température relative initiale $C(x)=T_{i}(x)-T_{0}$ .

1.2.3 Recherche d'une solution analytique

Dans le but d'obtenir une solution de référence pour les simulations numériques, nous allons chercher une solution analytique du problème $(P_{1})$ , en utilisant la méthode classique de séparation de variables.

1.2.3.1 Méthode de séparation de variables

Pour résoudre $(P_{1})$ , on considère le problème sans condition initiale fixée:

$$(P_{1}^{^{\prime}})\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\pa... ...ppa\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} u(0,t)=0 u(L,t)=0\end{array}\right.$$ (1.2)

On cherche une solution élémentaire de ce problème $(P_{1}^{^{\prime}})$ sous la forme à variables séparées:

$$u(x,t)=f(t)g(x)$$ (1.3)

En substituant cette relation dans l'équation (1.2) on obtient:

$$f^{^{\prime}}(t)g(x)=\kappa f(t)g^{^{\prime\prime}}(x)$$ (1.4)

En divisant par $f(t)g(x)$ , il vient:

$$\frac{1}{\kappa}\frac{f^{^{\prime}}(t)}{f(t)}=\frac{g^{^{\prime\prime}}(x)}{g(x)}$$ (1.5)

L'examen de l'équation (1.5) montre que le membre de gauche est une fonction de $t$ seulement, tandis que le membre de droite n'est fonction que de $x.$ Par conséquent si $x$ varie et $t$ reste constant, $\frac{1}{\kappa}\frac{f^{^{\prime}}(t)}{f(t)}$ reste constant. De même, si $t$ varie et $x$ reste constant $\frac{g^{^{\prime\prime}}(x)}{g(x)}$ reste aussi constant. Chacun de ces membres doit donc être constant, disons égale à $\beta.$ D'où les 2 équations:

$$\frac{f^{^{\prime}}(t)}{f(t)}=\beta\kappa$$ (1.6)

$$\frac{g^{^{\prime\prime}}(x)}{g(x)}=\beta$$ (1.7)

que l'on réécrit sous la forme:

$$f^{^{\prime}}(t)-\beta\kappa f(t)=0$$ (1.8)

$$g^{^{\prime\prime}}(x)-\beta g(t)=0$$ (1.9)

En intégrant l'équation pour $f(t)$ (1.8), il vient:

$$f(t)=c_{1}e^{\beta\kappa t}$$ (1.10)

Le signe de la constante $\beta$ donne l'évolution de la température au cours du temps (puisque $\kappa>0$ ). Si la constante $\beta$ est positive, la température croit exponentiellement, ce qui n'est physiquement pas acceptable. Par contre si la constante $\beta$ est négative, la température décroît exponentiellement, ce qui est à priori la solution à retenir. Nous envisagerons cependant les 2 cas, et nous montrerons que seul le second cas conduit à une solution non identiquement nulle.

En supposant $\beta>0,$ on pose $\beta=\omega^{2}>0$ ( $\omega$ est une constante arbitraire). En réécrivant l'équation pour $g(x)$ (1.9), on obtient :

$$g^{^{\prime\prime}}(x)-\omega^{2}g(x)=0$$ (1.11)

Cette équation (1.11) est une équation du second ordre homogène et à coefficients constants. Cherchons la solution sous la forme : $g(x)=e^{mx}$ . On obtient alors l'équation caractéristique : $m^{2}-\omega^{2}=0,$ qui fixe les valeurs possibles de $m=\pm\omega$ , d'où la solution $g(x)$ :

$$g(x)=c_{1}^{^{\prime}}e^{\omega x}+c_{2}^{^{\prime}}e^{-\omega x}$$

ou encore :

$$g(x)=c_{2}ch(\omega x)+c_{3}sh(\omega x)$$

La solution $u(x,t)$ de (1.2) de s'écrit alors :

$$u(x,t)=e^{(\kappa\omega^{2}t)}\left[A ch(\omega x)+B sh(\omega x)\right]$$

avec $\omega,$ $A$ et $B$ des constantes. On peut montrer sans difficulté que l'application des conditions aux limites du problème $(P_{1})$ conduit à $A=B=0$ et donc à une solution identiquement nulle.

En supposant maintenant $\beta<0$ , on pose $\beta=-\omega^{2}<0$ , et dans ce cas en suivant la même démarche que précédemment, on montre que la solution s'écrit :

$$u(x,t)=e^{-(\kappa\omega^{2}t)}\left[A \cos(\omega x)+B \sin(\omega x)\right]$$

L'application de la première condition aux limites $u(0,t)=0$ en $x=0$ donne :

$$e^{-(\kappa\omega^{2}t)}\left[A+0\right]=0\Rightarrow A=0$$

$u(x,t)$ s'écrit alors:

$$u(x,t)=Be^{-(\kappa\omega^{2}t)}\sin(\omega x).$$

L'application de la deuxième condition en $x=L$ implique :

$$Be^{-(\kappa\omega^{2}t)}\sin(\omega L)=0$$

Si on choisit $B=0,$ on retrouve une solution identiquement nulle. On suppose donc que $B\neq0,$ et nous obtenons puisque $e^{-(\kappa\omega^{2}t)}$ $\neq0$ :

$$Be^{-(\kappa\omega^{2}t)}\sin(\omega L)=0\Rightarrow\sin(\omega L)=0\Rightarrow\omega L=n\pi$$

Cette condition fixe les valeurs possibles de $\omega$ : $\omega=\frac{n\pi}{L}$ ( $n\in Z).$

La solution de $(P_{1}^{^{\prime}})$ s'écrit:

$$u(x,t)=Be^{-\kappa\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}t}\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$$ (1.12)

Pour chaque valeur de $n$ , nous avons donc une solution élémentaire dépend de $n$ et où $B$ est une constante arbitraire que l'on notera $C_{n}$ :

$$u_{n}(x,t)=C_{n}e^{-\kappa\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}t}\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$$ (1.13)

Et suivant le principe de superposition, toute combinaison linéaire de solutions de la forme (1.13), est aussi solutionde $(P_{1}^{^{\prime}})$ (sous réserve de la convergence de la série). Les solutions générales de $(P_{1}^{^{\prime}})$ s'écrivent:

$$u(x,t) = \sum\limits _{n=1}^{\infty}u_{n}(x,t)$$ (1.14)

$$= \sum\limits _{n=1}^{\infty}C_{n}e^{-\kappa\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}t}\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$$

où les $C_{n}$ sont des constantes arbitraires. On constate que puisque l'on a fixé aucune condition initiale, le problème $(P_{1}^{^{\prime}})$ admet une infinité de solutions.

1.2.3.2 Solution générale vérifiant la condition initiale

Les solutions (1.14) satisfont l'équation et les conditions aux limites du problème $(P_{1})$ . Pour satisfaire la condition initiale ( $u(x,0)=C(x)$ ), nous devons avoir :

$$\sum\limits _{n=1}^{\infty}C_{n}\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)=C(x) 0\leq x\leq L$$ (1.15)

Le problème revient maintenant à la détermination des $C_{n}$ de sorte que la série (1.15) converge vers $C(x)$ pour tout $x\in[0,L]$ . Pour calculer les constantes $C_{n}$ , on multiplie l'équation (1.15) par $sin(\frac{k\pi}{L}x)$ , et on intégre sur l'intervalle $[0,L]$ . En utilisant l'orthogonalité des fonctions sinus:

$$\int_{0}^{L}\sin(\frac{n\pi}{L}x)\sin(\frac{k\pi}{L}x) dx=\frac{L}{2}\delta_{k,n}$$

on obtiens la valeur de $C_{k}$

$$C_{k}=\frac{2}{L}\int\limits _{0}^{L}C(x)\sin\left(\frac{k\pi}{L}x\right)dx$$ (1.16)

Les $C_{k}$ sont les coefficients de Fourier de la fonction périodique de période $2L$ coïncidant avec $C(x)$ sur l'intervalle $[0,L]$ .

La solution générale du problème $\left(P_{1}\right)$ s'écrit:

$$u(x,t) = \sum\limits _{n=1}^{\infty}C_{n}e^{-\kappa\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}t}\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)$$ (1.17)

$$C_{n} = \frac{2}{L}\int\limits _{0}^{L}C(y)\sin\left(\frac{n\pi}{L}y\right)dy$$

Dans le cas particulier $C(x)=sin(n\frac{\pi x}{L})$ , on trouve le mode propre (i.e. une solution qui évolue de façon auto-similaire au cours du temps) d'ordre $n$ du problème $(P_{1})$ :

$$u(x,t)=sin(\frac{n\pi}{L}x)e^{-\kappa\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2}t}$$ (1.18)

Ce mode propre décroît de façon auto-similaire et exponentiellement au cours du temps proportionnellement au carré de sa longueur d'onde $\frac{L}{n\pi}$ .

Cela montre qu'une fluctuation de température est d'autant plus amortie au cours du temps que sa longueur d'onde $\frac{L}{n\pi}$ est courte. C'est un phénomène caractéristique des processus de diffusion.