Rappel d’algèbre linéaire

3.1. Rappel d’algèbre linéaire#

Marc BUFFAT, dpt mécanique, Université Claude Bernard Lyon 1

maths

%matplotlib inline
import numpy as np
import sympy as sp
from sympy.plotting import plot
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython.core.display import HTML
from IPython.display import display

3.1.1. Objectifs#

Dans de nombreux problèmes en science, on est amené à déterminer les inconnues du problème par résolution d’un système d’équations.

Par exemple en mécanique, on peut être amener à déterminer la position d’équilibre \([x,y,z]\) d’un système par résolution des équations suivantes: $\(\begin{eqnarray} 2 x + 2 y + z &=& 9\\ x + z &=& 4\\ x + y + 3 z &=& 12 \end{eqnarray}\)$

Ce système d’équations est un système linéaire qui peut être écrit sous la forme matricielle $\( A X = B \mbox{ avec } A = \left[\begin{matrix}2 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 3\end{matrix}\right]\;,\; X = \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right] \;,\; B = \left[\begin{matrix} 9 \\ 4 \\ 12 \end{matrix}\right] \)$

Les théories de l’algèbre linéaire permettent de répondre aux questions suivantes:

  1. le problème admet-il une solution unique ?

  2. comment peut on calculer la solution ?

De même, la théorie de la mécanique des solides indéformables utilise la notation de vecteurs et de matrices pour modéliser le mouvements des solides dans l’espace, en particulier pour les changements de repère, les matrices d’inertie, les torseurs cinématiques et dynamiques. L’algèbre linéaire offre les outils pour

  1. manipuler des vecteurs avec des opérateurs: produit scalaire, produit vectoriel, produit matriciel

  2. calculer les composante d’un vecteur dans différents repères (matrice de changement de base)

  3. calculer composantes principales d’inertie d’un solide: calcul des valeurs des valeurs propres et vecteurs propres

Note

On rappelle ci-dessous les éléments essentiels d’algèbre linéaire à connaître et à savoir utiliser.

3.1.2. Vecteurs#

  • notation: un vecteur (array en anglais) sera noté soit avec une flèche \(\vec{X}\), soit en gras \(\mathbf{X}\). C’est un élément d’un espace vectoriel, qui est différent d’un scalaire.

  • dans \(\mathcal{R}^n\) espace vectoriel de dimension \(n\) avec une base orthonormée (repère) \(R=\left(\vec{e_k}\right)_{k=1,n}\)

\[\begin{split} \mathbf{X} \in \mathcal{R}^n \mbox{ alors } \mathbf{X} = \sum_{i=1}^n x_i \vec{e_k} \mbox{ soit } \mathbf{X} = \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \ldots\\ x_n \end{array} \right)_R \end{split}\]

  • opérateurs dans \(\mathcal{R}^n\)

    • addition, multiplication par un réel :

    \[\alpha \mathbf{X}+ \beta \mathbf{Y} \in \mathcal{R}^n = \sum_{i=1}^n (\alpha x_i + \beta y_i) \vec{e_i}\]

    • produit scalaire (euclidien)

    \[ \mathbf{X}. \mathbf{Y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i \]

    • norme euclidienne

    \[ |\mathbf{X}| = \sqrt{\mathbf{X}. \mathbf{X}} = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2)}\]

  • propriétés

    • si \(\mathbf{X} \perp \mathbf{Y}\) alors \(\mathbf{X}. \mathbf{Y} = 0\)

  • opérateurs dans \(\mathcal{R}^3\)

    • produit vectoriel

    \[ \mathbf{X} \wedge \mathbf{Y} = (x_2y_3 -x_3y_2)\vec{e_1}+(x_3y_1 -x_1y_3)\vec{e_2} +(x_1y_2 -x_2y_1)\vec{e_3} \]

    • propriétés \( \mathbf{X} \wedge \mathbf{Y}\) est \(\perp\) au plan \((\mathbf{X}, \mathbf{Y})\)

    \[ (\mathbf{X} \wedge \mathbf{Y}).\mathbf{X} = (\mathbf{X} \wedge \mathbf{Y}).\mathbf{Y} = 0\]

3.1.3. Matrices#

matrice carrée dans \(\mathcal{R}^{n,n}\) espace vectoriel de dimension \(n^2\)

\[\begin{split} \mathbf{A} \in \mathcal{R}^{n,n} \mbox{ alors } \mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1,n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2,n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{n,n}\\ \end{array} \right)_R \end{split}\]

  • opérateurs dans \(\mathcal{R}^{n,n}\)

    • addition, multiplication par un réel :

    \[\alpha \mathbf{A}+ \beta \mathbf{B} \in \mathcal{R}^{n,n} \]

    • produit matriciel : matrice x vecteur \(\rightarrow\) vecteur

\[\begin{split} \mathbf{A}. \mathbf{x} = \mathbf{B} \mbox{ soit } \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \ldots \\ b_n \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \sum_{i=1}^n a_{1i} x_i \\ \sum_{i=1}^n a_{2i} x_i \\ \ldots \\ \sum_{i=1}^n a_{ni} x_i \\ \end{array} \right)_R \end{split}\]
- produit matriciel
\[\begin{split} \mathbf{A} \mathbf{B} = \left( \begin{array}{cccc} \sum_k a_{1k}b_{k1}& \sum_k a_{1k}b_{k2}&\ldots& \sum_k a_{1k}b_{kn}\\ \sum_k a_{2k}b_{k1}& \sum_k a_{2k}b_{k2}&\ldots& \sum_k a_{2k}b_{kn}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ \sum_k a_{nk}b_{k1}& \sum_k a_{nk}b_{k2}&\ldots& \sum_k a_{nk}b_{kn}\\ \end{array} \right)_R \end{split}\]
-  produit terme à terme
\[\begin{split} \mathbf{A} * \mathbf{B} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}b_{11}&a_{12}b_{12}&\ldots&a_{1,n}b_{1n}\\ a_{21}b_{21}&a_{22}b_{22}&\ldots&a_{2,n}b_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ a_{n1}b_{n1}&a_{n2}b_{n2}&\ldots&a_{n,n}b_{nn}\\ \end{array} \right)_R \end{split}\]

3.1.4. Changement de base (repère)#

entre 2 bases orthonormés notées \(R_1\) \([\vec{e}_{1,k}]\) et \(R_2\) \([\vec{e}_{2,k}]\)

  • \(\mathbf{Q_{1,2}}\) matrice de changement de base \(R_1 \rightarrow R_2\)

  • \(\mathbf{Q_{1,2}}\) matrice unitaire \(\mathbf{Q_{1,2}}^{-1} = \mathbf{Q_{1,2}}^t\)

\[\begin{split} \mathbf{X} \in \mathcal{R}^n \mbox{ alors } \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \ldots \\ x_n \end{array} \right]_{R_1} = \mathbf{Q_{1,2}}\; \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \ldots \\ x_n \end{array} \right]_{R_2} \end{split}\]
\[\begin{split} \mathbf{A} \in \mathcal{R}^{n,n} \mbox{ alors } \left[ \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1,n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2,n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{n,n}\\ \end{array} \right]_{R_1} = \mathbf{Q_{1,2}}\; \left[ \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1,n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2,n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{n,n}\\ \end{array} \right]_{R_2} \end{split}\]

3.1.5. Système linéaire#

soit \(\mathbf{A} \in \mathcal{R}^{n,n}\) et \(\mathbf{B} \in \mathcal{R}^n\), trouvez \(\mathbf{X} \in \mathcal{R}^n\) t.q.

\[ \mathbf{A} \mathbf{X} = \mathbf{B}\]

soit

\[\begin{split} \mbox{trouvez }\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2\\ \ldots\\ x_n \end{array} \right) \mbox{ solution de } \left( \begin{array}{c} \sum_{i=1}^n a_{1i} x_i = b_1\\ \sum_{i=1}^n a_{2i} x_i = b_2\\ \ldots \\ \sum_{i=1}^n a_{ni} x_i = b_n\\ \end{array} \right) \end{split}\]

  • solution unique si \(\det{\mathbf{A}} \neq 0 \)

\[ \mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{B} \]

Avertissement

en pratique, on utilise une méthode d’élimination pour calculer la solution d’un système linéaire

3.1.6. Propriétés des matrices#

  • déterminant : développement suivant la colonne 1

\[ \det{\mathbf{A}} = \sum_{i=1}^n a_{i1} (-1)^{i+1} \det{A^{i1}}\]

on note \( A^{i1}\) la matrice obtenue en enlevant à \(\mathbf{A}\) la ligne i et la colonne 1

  • valeurs propres \(\lambda_k\) et vecteurs propres \(\mathbf{\Lambda}_k\) solution de

\[ \mathbf{A} \mathbf{\Lambda}_k = \lambda_k \mathbf{\Lambda}_k \]

  • valeurs propres \(\lambda_k\) racines du polynôme caractéristique d’ordre \(n\)

\[ \det{( \mathbf{A} - \lambda \mathbf{Id})} = 0 \]

  • diagonalisation si \(\mathbf{A}\) possède \(n\) valeurs propres réelles

\[\begin{split} \mathbf{A} = \mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1} \mbox{ avec } \mathbf{D} = \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1&0&\ldots&0\\ 0&\lambda_2&\ldots&0\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&0&\ldots&\lambda_n\\ \end{array} \right) \end{split}\]

\(\mathbf{P}\) matrice de passage représentant une base de vecteurs propres

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