Planification de trajectoire

1. Planification de trajectoire#

Marc BUFFAT, UCB Lyon 1

1.1. Objectifs#

L’objectif est de trouver un système de contrôle permettant d’éviter les mouvements pendulaires indésirables pouvant provoquer une oscillation permanente lors du transport de charges par un système de câbles (grue, pont, ..).

1.1.1. difficultés#

  • on ne sait pas en générale actionné ou mesuré tous les degrés de liberté du système.

Par exemple, pour une grue ou un chariot élévateur, on contrôle la position de la grue ou du chariot mais pas celle de la masse à l’extrémité du cable.

1.2. Formalisme#

Soit \(X(t)\) le vecteur d’état (degrés de liberté \(q_i(t)\)) d’un système mécanique.

Sans contrôle, l’équation du mouvement s’écrit sous la forme

\[M \ddot{X} = F(X,\dot{X},t) \]

Un point important est la stabilité « linéaire » du système correspondant à l’étude du sysème linéarisé autour d’un état \(X_0\):

\[ \ddot{X} = A (X-X_0) \mbox{ avec } A = M^{-1} \frac{\partial F(X)}{\partial X}|_{X_0} \]

En rajoutant une commande \(F_C\)

\[M \ddot{X} = F(X,\dot{X},t) + F_C \]

on souhaite déterminer le meilleur contrôle \(F_C\) pour planifier une trajectoire « optimale » entre A et B qui évite les mouvements parasites.

Pour cela on va définir une trajectoire idéale \(X_i(t)\) vérifiant des conditions de régularité, puis en déduire le contrôle

1.2.1. contrôle directe#

on déduit directement la commande \(F_C\) à partir de la trajectoire idéale \(X_i(t)\)

\[ F_C = M\ddot{X_i} - F(X_i,\dot{X}_i) \]

C’est en générale une mauvaise idée car si on s’écarte de la trajectoire, le système peut diverger (en particulier s’il est instable)

1.2.2. asservissement simple#

pour rendre la commande précédente robuste on ajoute un asservissement \(F_c\) pour suivre la trajectoire idéale

  • trajectoire idéale imposée \(X_i(t)\)

  • commande asservissement (mais uniquement sur l’état controllable \(X_c\) , i.e. que l’on peut mesurer en temps réel (p.e. position du chariot ou de la grue, mais pas la position de la masse à l’extrémité du cable).

\[ F_c = -K_c \left( (X_c-X_i) + T_c(\dot{X_c}-\dot{X_i}) \right) \]

1.2.3. Contrôle dynamique par commande hiérarchisée#

L’objectif est de proposer une stratégie de commande simple et réaliste qui repose sur une structure de commande hiérarchisée, composée de régulateurs de bas niveau rapides, simples et découplés et d’une commande de haut niveau lente et prenant en compte les couplages.

1.2.3.1. détermination de la trajectoire idéale#

  • \(X_i(t)\) détermination d’une trajectoire idéale

1.2.3.2. force de la commande#

Choix d’une commande \(F_c\) par une opération de découplage et feedback en fonction d’un contrôle 𝑢 t.q.

\[ F_c = M u - F(X,\dot{X})\]

avec

\[ M u = -K_c \left( (X_c-X_i) + T_c(\dot{X_c}-\dot{X_i}) \right) \]

où les constantes \(K_c\) et \(T_c\), qu’il s’agit de régler pour assurer le suivi désiré.

Contenu