TP Planification: étude d’un pont roulant

7.1. TP Planification: étude d’un pont roulant#

pont_roulant

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython.display import Markdown, display
from validation.validation import info_etudiant
def printmd(string):
    display(Markdown(string))
# test si numero étudiant spécifier
try: NUMERO_ETUDIANT
except NameError: NUMERO_ETUDIANT = None 
if type(NUMERO_ETUDIANT) is not int :
    printmd("**ERREUR:** numéro d'étudiant non spécifié!!!")
    NOM, PRENOM, NUMERO_ETUDIANT=info_etudiant()
    NOM='Toto'
    PRENOM='toto'
# parametres spécifiques
_uid_    = NUMERO_ETUDIANT 
_precis_ = 1.0e-5
printmd("**Login étudiant {} {} uid={}**".format(NOM,PRENOM,_uid_))
np.random.seed(_uid_)
# parametres
_XF_ = 4.0 + np.random.randint(4)
_L0_ = 5.0 + np.random.randint(10)
_L1_ = 2.0 + np.random.randint(10)
_L2_ = _L1_ /2.
_ALPHA_ = np.round(0.1+np.random.rand(),1)
printmd("**parametres de la trajectoire**: Xf={} L0={} Lf={} Lm={} alpha={}".
        format(_XF_,_L0_,_L1_,_L2_,_ALPHA_))

ERREUR: numéro d’étudiant non spécifié!!!

Login étudiant Toto toto uid=137764122

parametres de la trajectoire: Xf=7.0 L0=7.0 Lf=8.0 Lm=4.0 alpha=0.8

7.1.1. Modélisation#

7.1.1.1. objectif#

On veut déplacer, à l’aide d’un système de levage par câble (grue ou pont roulant), une charge d’un endroit à un autre en évitant les oscillations résiduelles à l’arrivée. L’objectif est de proposer une stratégie de commande simple et réaliste qui repose sur une structure de commande hiérarchisée, composée de régulateurs de bas niveau rapides, simples et découplés et d’une commande de haut niveau lente et prenant en compte les couplages. En outre, on mesure la position et la vitesse du chariot ainsi que la position et la vitesse du treuil, mais la position de la charge n’est pas mesurée. C’est pourquoi nous ne considérons que des bouclages qui ne dépendent que des positions et vitesses du chariot et du treuil.

Le cas d’une trajectoire simple avec un cable de longueur constante \(L_0\) sera traiter ensemble en début de TP et vous aurez à traiter ensuite les 2 cas suivants avec les paramètres individuels données plus haut.

  • trajectoire ascendente directe avec levage du cable de \(L_0\) à \(L_f\) (de A à B)

  • trajectoire avec un obstacle nécessitant un levage du cable à \(L_m\) (de A à B en passant par C) (optionnel)

../../../_images/obstacle.png

On vous demandera de rédiger un CR succinct sur ces 2 cas dans le fichier monCR.tex sur la stratégie de contrôle mise en place pour minimiser les oscillations de la charge en fin de trajectoire.

7.1.1.2. modélisation#

chariot pendule

  • modèle mécanique = masse ponctuelle P (masse) et chariot (C)

pendule P de masse m de longueur \(l(t)\) accroché à un chariot C de masse M se deplacant horizontalement \(x_c(t)\)

  • système à 3 ddl \(xc(t), \theta(t), l(t) \)

  • treuil de rayon \(\rho\)

    • rayon \(\rho\) (on néglige son inertie \(J_\rho\))

    • angle \(\phi = (l-l_0)/\rho\)

%matplotlib inline
import numpy as np
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rc('font', family='serif', size='14')
from sympy.physics.vector import init_vprinting
init_vprinting(use_latex='mathjax', pretty_print=False)
from sympy.physics.mechanics import dynamicsymbols, Point, ReferenceFrame
from sympy.physics.mechanics import Particle, Lagrangian, LagrangesMethod

7.1.1.3. Définition des repères et ddl#

  • définir les ddl avec dynamicsymbols

  • définir les paramètres avec symbols

  • définir les repères RO, RP ReferencePoint et les points O, P et C Point

# définition des parametres
theta,  xc, l    = dynamicsymbols("theta x_c l")
thetap, xcp, lp = dynamicsymbols("theta x_c l",1)
m,M,g  = sp.symbols('m M g')
t      = sp.Symbol('t')

# définition des pts et des répères
O = None
RO = None
C = None
RP = None
P = None
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.1.4. cinématique#

  • calcul vitesse des points P et C

  • définition des masses ponctuelles Pc et Pa associées au chariot et à la masse m Particle

  • calcul de l’energie potentielle

# vitesse de C et P
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

# definition des masses ponctuelles et calcul de l'énergie potentiel
Pa = 0
Pc = 0
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.1.5. Lagrangien#

  • calcul du lagrangien du système chariot+masse dans La Lagrangian

# calcul La
La = None
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.1.6. Bilan des forces#

  • force motrice \(F\) sur le chariot en C

  • force de tension \(T\) dans le cable (ne travaille pas)

  • couple sur un treuil de rayon \(\rho\)

    • couple \(C\)

    • travail \(C_t \rho \delta l \)

  • \(\alpha = \frac{M}{m}\) rapport des masses

  • adimensionalisation:

    • \( F = F_c M = F_c\alpha m \)

    • \( C = C_t m \rho \)

  • définition d’un repère Rt lié au treuil

  • calcul angle \(\phi_t\) en fct de \(l(t)\) (enroulement autour du treuil)

  • \(l_0\) longueur de référence

# definition Fc et Ct et des parametres
Fc, Ct, rho, l0 = sp.symbols('F_c C_t rho l_0')
phi_t = 0
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.1.7. Equations de Lagrange#

calcul des équations de Lagrange LagrangesMethod avec le travail des forces extérieures

  • force de traction du chariot Fc

  • couple sur le treuil Ct

# calcul des equations dans eq en introduisant 
LM = None
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.2. Chariot mobile, longueur fixe#

  • on applique une force motrice horizontale \(F_c\) avec un cable de longueur \(l_0\) fixe

  • adim: \( F_c M = F_c \alpha m \)

  • \(\alpha = \frac{M}{m}\)

  • objectif:

    • déterminer la force \(F_c\) pour avoir un ballant minimum

    • tests de différents contrôle

      • contrôle du chariot seule

      • asservissement de la trajectoire du chariot

      • couplage de haut niveau

  • calcul du nouveau lagrangien

  • calcul des equations de lagranges

  • introduction de \(\alpha = M/m\)

# calcul lagrangien LLa
alpha = sp.Symbol('alpha')
LLa = 0
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

# calcul equation de Lagrange
Fc = sp.symbols('F_c')
LM = None
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.2.1. 1ere methode: contrôle simple du chariot#

On contrôle uniquement le chariot \(x_c(t)\) sans tenir compte de l’interaction avec la masse P: on suppose que \(\theta \approx 0=cste\)

L’équation du mouvement du chariot s’écrit alors

\[ (1+\alpha)\ddot{x_c} = \alpha F_c\]

  • on impose une trajectoire simple au chariot tq. $\( x_c(0)=0, \dot{x_c}(0)=0, x_c(t_f) = x_f, \dot{x_c}(t_f)=0\)$

  • d’où \(x_c(t)\) polynôme de degré 3

\[ x_c(t) = x_f \frac{t^2}{t_f^2}(3-2\frac{t}{t_f})\]

  • d’où la force \(F_c\) sur le chariot

  • definition analytique

  • conversion fonction python avec lambdify

# calcul de xcc et Fcc
xf,tf = sp.symbols('x_f t_f')
xcc = 0
FC  = 0
FCX = 0
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.2.2. 2ieme méthode: asservissement simple#

  • on applique un asservissement simple pour avoir la trajectoire précédente

\[ x_i(t) = x_f \frac{t^2}{t_f^2}(3-2\frac{t}{t_f})\]

  • asservissement $\( F_a(t) = -K_c \left( (x(t)-x_i(t)) + T_c(\dot x - \dot x_i) \right) \)$

# definition asservissement Fca et conversion en fonction Python FCA
Kc,Tc = sp.symbols('K_c T_c')
Fca = 0
FCA = 0
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.2.3. 3ieme méthode: commande de haut niveau lente#

  • linéarisation des équations

  • contrôle du positionnement de la charge P

  • calcul de la commande en fonction du mvt de la charge

7.1.2.3.1. mouvement de la charge#

  • calcul des coordonnées de la charge P: \(\xi(t)\), \(\eta(t)\) dans le repère fixe

  • relation entre \(\theta\) \(\xi\) et \(\eta\)

# calcul de xi et eta
xi, eta = dynamicsymbols('xi eta')
if P is not None:
    display(P.pos_from(O).express(RO))
    display(sp.Eq(xi,P.pos_from(O).dot(RO.x)))
    display(sp.Eq(eta,P.pos_from(O).dot(RO.y)))
    display(sp.Eq(sp.tan(theta),(-xi+xc)/eta))

7.1.2.3.2. paramétrisation / trajectoire#

  • équation d’équilibre de la charge en fonction de la tension T

  • réécrire les équations du mvt pour obtenir \(\theta\) et \(x_c\) en fct de \(\xi\) et \(\eta\)

# relation xc et xi et eta
T = sp.Symbol('T')

display(sp.Eq(m*xi.diff(t,t) , -T*sp.sin(theta)))
display(sp.Eq(m*eta.diff(t,t),  T*sp.cos(theta) - m*g))
display(sp.Eq(sp.tan(theta), -xi.diff(t,t)/(eta.diff(t,t)+g)))
display(sp.Eq(xc, xi - eta*xi.diff(t,t)/(eta.diff(t,t)+g)) )
\[\displaystyle m \ddot{\xi} = - T \sin{\left(\theta \right)}\]
\[\displaystyle m \ddot{\eta} = T \cos{\left(\theta \right)} - g m\]
\[\displaystyle \tan{\left(\theta \right)} = - \frac{\ddot{\xi}}{g + \ddot{\eta}}\]
\[\displaystyle x_{c} = \xi - \frac{\eta \ddot{\xi}}{g + \ddot{\eta}}\]

7.1.2.3.3. paramétrisation#

si on connait \(\xi(t)\) et \(\eta(t)\) jusqu’à leurs dérivées d’ordre 4, peut donc déterminer le mouvement et calculer la force \(F_c\) “on doit calculer \(\ddot{x_c}\) et \(\ddot{\theta\)}$

idée on va déterminer le mouvement de la masse M (i.e. \(\xi(t)\) et \(\eta(t)\)) pour pouvoir en déduire la force \(F_c\). Pour cela on va se placer dans le cas de petites oscillations (linéarisation)

7.1.2.3.4. linéarisation \(\theta\) petit#

  • \(\eta = - l_0\)

  • \(\theta = -\frac{\ddot{\xi}}{g}\)

  • \(x_c = \xi + \frac{l_0}{g} \ddot{\xi}\)

  • \(\omega_0 ^2 = \frac{g}{l_0}\)

calcul de la force \(F_c\) dans ce cas en fct de \(\xi(t)\) et \(\omega_0\)

# calcul force Fc dans Fc1
omega0 = sp.Symbol('omega_0')
Fc1 = None
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.2.3.5. choix de la trajectoire \(\xi(t)\) la plus régulière t.q.#

On veut que la masse M soit immobile au départ et à l’arrivée

  • trajectoire \(\xi(t)\) idéale tq. $\(\xi(0)=0, \frac{d\xi}{dt}(0)=0, \frac{d^2\xi}{dt^2}(0)=0, \frac{d^3\xi}{dt^3}(0)=0, \frac{d^4\xi}{dt^4}(0)=0\)\( \)\(\xi(t_f)=x_f, \frac{d\xi}{dt}(t_f)=0, \frac{d^2\xi}{dt^2}(t_f)=0, \frac{d^3\xi}{dt^3}(t_f)=0, \frac{d^4\xi}{dt^4}(t_f)=0\)$

  • \(\xi(t)\) polynome de degré 9 en t

\[\xi(t) = x_f(\frac{t}{t_f})^5 (126-420(\frac{t}{t_f})+540(\frac{t}{tf})^2-315(\frac{t}{t_f})^3+70(\frac{t}{tf})^4)\]
# calcul de xi dans x, Fcx, xcx et thx (theta)
xf, tf = sp.symbols('x_f t_f')
x = xf*(t/tf)**5*(126-420*(t/tf)+540*(t/tf)**2-315*(t/tf)**3+70*(t/tf)**4)
display(sp.Eq(xi,x))
# verification
print("dérivées en tf:",x.diff(t,1).subs({t:tf}),x.diff(t,2).subs({t:tf}),x.diff(t,3).subs({t:tf}),x.diff(t,4).subs({t:tf}))
# contrôle Fc
if Fc1 is not None:
    Fcx=Fc1.subs({xi.diff(t,4):x.diff(t,4),xi.diff(t,2):x.diff(t,2)}).doit().simplify()
    display(sp.Eq(Fc,Fcx))
    # position chariot xc
    xcx= xi + xi.diff(t,2)/omega0**2
    xcx= xcx.subs({xi:x}).doit().simplify()
    display(sp.Eq(xc,xcx))
    # angle theta
    thx= -xi.diff(t,2)/(l0*omega0**2)
    thx= thx.subs({xi:x}).doit().simplify()
    display(sp.Eq(theta,thx))
\[\displaystyle \xi = \frac{t^{5} x_{f} \left(\frac{70 t^{4}}{t_{f}^{4}} - \frac{315 t^{3}}{t_{f}^{3}} + \frac{540 t^{2}}{t_{f}^{2}} - \frac{420 t}{t_{f}} + 126\right)}{t_{f}^{5}}\]
dérivées en tf: 0 0 0 0

# fonctions numériques XI, XC, FX, THX
XI = None
XC = None
FX = None
THX = None
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.2.4. Parametres de la simulation#

  • définition des paramètres

  • attention valeur des parametres KC et TC

\[\ddot{x_c} = -K_c\left((x_c - x_i) + T_c(\dot{x_c}- \dot{x_i})\right)\]

optimal si \(\Delta=0\) i.e. \(Tc^2 = 4/K_c\)

printmd("### parametres trajectoire: Xf={} L0={} Lf={} Lm={} alpha={}".
        format(_XF_,_L0_,_L1_,_L2_,_ALPHA_))

parametres trajectoire: Xf=7.0 L0=7.0 Lf=8.0 Lm=4.0 alpha=0.8

# PARAMETRES NUMERIQUES
# tester les 3 deplacement lent, rapide, + rapide
TF = 8.0
TF = 6.0
TF = 4.0
GG = 9.81
KC = 100.0
TC = np.sqrt(4./KC)
# valeur de XF ALPHA L0 et tt (temps simulation)
XF = 0
ALPHA = 0
L0 = 0
XF = 0
OMEGA0 = 0
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION
Nt = 400
tt = np.linspace(0,TF,Nt)

7.1.2.5. tracée de la solution idéale \(\xi(t)\)#

# tracer de la solution optimal avec xi(t)
if XI is not None:
    XXI = XI(tt,XF,TF)
    XCX = XC(tt,XF,TF,OMEGA0)
    FFX = FX(tt,XF,TF,OMEGA0,ALPHA)
    TTHX= THX(tt,XF,TF,OMEGA0,L0)
    plt.figure(figsize=(10,8))
    plt.subplot(3,1,1)
    plt.plot(tt,XXI,label="P")
    plt.plot(tt,XCX,'--',label="C")
    plt.legend()
    plt.title("Solution planifiée: position P et C")
    plt.subplot(3,1,2)
    plt.plot(tt,FFX)
    plt.ylabel("Force $F_c$")
    plt.subplot(3,1,3)
    plt.plot(tt,TTHX,'--')
    plt.ylabel("angle $\\theta$")
    plt.xlabel('t');

# tracer du mouvement associé
if XC is not None:
    plt.figure(figsize=(12,12))
    for i in range(0,len(tt),20):
        X,Y = [XCX[i],XXI[i]],[0.,-L0]
        plt.plot(X,Y,'-o',ms=20)
    plt.axis('equal');

7.1.2.6. Simulation avec les 3 contrôles#

  • commande simple Fs

  • asservissement simple Fa

  • commande lente couplée F

définition du second membre des equations de lagrange sous forme EDO du 1er ordre

\[ \dot{Y} = F(Y,t)\]
if LM is not None:
    display("Equations Lagrange:",LM.form_lagranges_equations())
    # calcul du 2nd membre en fonction de C
    display("F(Y)=",sp.simplify(LM.rhs()).doit())
    smb = sp.simplify(sp.simplify(LM.rhs()).doit().subs({l:l0,g:omega0**2*l0}))
    display("F(Y)=",smb)
    smbF = sp.lambdify([theta,xc,thetap,xcp,Fc,l0,omega0,alpha],smb,'numpy')

# definition des 3 seconds membres fct du contrôle
def Fs(Y,t):
    """commande simple"""
    global L0,OMEGA0,ALPHA,TF,XF   
    ### BEGIN SOLUTION
    ### END SOLUTION
def Fa(Y,t):
    """asservissement simple"""
    global L0,OMEGA0,ALPHA,TF,XF,KC,TC
    ### BEGIN SOLUTION
    ### END SOLUTION
def F(Y,t):
    """commande lente couplée"""
    global L0,OMEGA0,ALPHA
    ### BEGIN SOLUTION
    ### END SOLUTION

Tracés des solutions

7.1.2.7. analyse solution commande simple#

animation

7.1.2.8. analyse solution commande asservie#

animation

7.1.2.9. analyse solution commande couplée#

animation

7.1.3. Asservissement: regulateur bas niveau#

pour rendre la commande précédente robuste on ajoute un asservissement pour suivre la trajectoire idéale

  • trajectoire imposée \(x_i(t)\) à partir de \(\xi(t)\) $\(x_i(t) = \xi + \frac{l_0}{g} \ddot{\xi}\)$

  • au lieu d’imposer directement la trajectoire, on ajoute un régulateur à la cde précédente $\( F_c = F_i -K_c ( (x_c-x_i) + T_c(\dot{x_c}-\dot{x_i})) \)$

# definition de Fc
Kc, Tc = sp.symbols('K_c T_c')
Fca = None
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

# definition du 2nd membre de l'EDO et de la force de controle Fca
if Fca is not None:
    smbF = sp.lambdify([theta,xc,thetap,xcp,l0,omega0,alpha,Fc],smb)
    FCa  = sp.lambdify([t,xc,xcp,tf,xf,omega0,Kc,Tc],Fca)

7.1.3.1. simulation#

calculer la commande FC = cde idéale + asservissement

def F(Y,t):
    ### BEGIN SOLUTION
    ### END SOLUTION
    return

# parametres
KC = 200
TC = np.sqrt(4/KC)
print("parametres:",KC,TC,TF)
# simulation
if Fca is not None:
    Y0 = [0.0, 0.0, 0., 0. ]
    sol = odeint(F,Y0,tt)
    THETA = sol[:,0]
    XXC   = sol[:,1]
    print("Erreur sur la position finale")
    print("commande couplée  erreur xc={:.3f} \t theta={:.3f} deg".format(sol[-1,1]-XF ,np.degrees(sol[-1,0])))

parametres: 200 0.1414213562373095 4.0

Trace solution

Animation

7.1.4. Chariot mobile et longueur de cable variable#

7.1.4.1. mouvement de la charge#

  • coordonnees \(\xi(t)\), \(\eta(t)\) dans le repere fixe (voir cours) $\(\xi = l \sin\theta + x-c \)\( \)\(\eta = -l \cos\theta \)$

  • équations d’équilibre $\( m\ddot\xi = -T \sin\theta\)\( \)\( m\ddot\xi = -T \sin\theta\)$

  • d’où l’expression de \(\theta\), \(l\) et \(x_c\) en fonction de \(\xi\) et \(\eta\)

\[ \tan \theta = \frac{\ddot{\xi}}{\ddot{\eta}-g}\]
\[ x_c = \xi - \frac{\eta\ddot{\xi}}{\ddot{\eta}-g}\]
\[ (\xi - x_c)^2 + \eta^2 = l^2 \]

  • trajectoire idéale

on planifie une trajectoire idéale pour \(\xi\) et \(\eta\) , et on en déduit la valeur de \(x_c(t)\) \(\theta(t)\) et \(l(t)\), et le contrôle associé

  • trajectoire rectiligne AB

obstacle

xi, eta = dynamicsymbols('xi eta')
display(sp.Eq(sp.tan(theta), xi.diff(t,t)/(eta.diff(t,t)-g)))
display(sp.Eq(xc, xi - eta*xi.diff(t,t)/(eta.diff(t,t)-g)) )
\[\displaystyle \tan{\left(\theta \right)} = \frac{\ddot{\xi}}{- g + \ddot{\eta}}\]
\[\displaystyle x_{c} = \xi - \frac{\eta \ddot{\xi}}{- g + \ddot{\eta}}\]

7.1.4.1.1. trajectoire planifiée#

on utilise la trajectoire planifiée précédente pour \(\xi(t)\)

  • trajectoire \(\xi(t)\) tq. $\(\xi(0)=0, \frac{d\xi}{dt}(0)=0, \frac{d^2\xi}{dt^2}(0)=0, \frac{d^3\xi}{dt^3}(0)=0, \frac{d^4\xi}{dt^4}(0)=0\)\( \)\(\xi(t_f)=x_f, \frac{d\xi}{dt}(t_f)=0, \frac{d^2\xi}{dt^2}(t_f)=0, \frac{d^3\xi}{dt^3}(t_f)=0, \frac{d^4\xi}{dt^4}(t_f)=0\)$

  • \(\xi(t)\) polynome de degré 9 en t

pour la trajectoire \(\eta(t)\) (même condition que \(\xi\)) sauf sur la position

  • \(\eta=-l_0\) longueur à \(t=0\)

  • \(\eta=-l_f\) longueur à \(t=t_f\)

xf, tf = sp.symbols('x_f t_f')
x = xf*(t/tf)**5*(126-420*(t/tf)+540*(t/tf)**2-315*(t/tf)**3+70*(t/tf)**4)
display(sp.Eq(xi,x))
# verification
print("dérivées en tf:",x.diff(t,1).subs({t:tf}),x.diff(t,2).subs({t:tf}),x.diff(t,3).subs({t:tf}),x.diff(t,4).subs({t:tf}))
\[\displaystyle \xi = \frac{t^{5} x_{f} \left(\frac{70 t^{4}}{t_{f}^{4}} - \frac{315 t^{3}}{t_{f}^{3}} + \frac{540 t^{2}}{t_{f}^{2}} - \frac{420 t}{t_{f}} + 126\right)}{t_{f}^{5}}\]
dérivées en tf: 0 0 0 0

lf = sp.symbols('l_f')
y = - l0 - (lf - l0)*(x/xf)
display(sp.Eq(eta,y))
\[\displaystyle \eta = - l_{0} - \frac{t^{5} \left(- l_{0} + l_{f}\right) \left(\frac{70 t^{4}}{t_{f}^{4}} - \frac{315 t^{3}}{t_{f}^{3}} + \frac{540 t^{2}}{t_{f}^{2}} - \frac{420 t}{t_{f}} + 126\right)}{t_{f}^{5}}\]

7.1.4.2. cas linéaire#

on suppose que \(\theta \approx 0\)

trajectoire idéale du chariot et du cable : $\(x_{ref}(t) \approx \xi(t) \)\( \)\(l_{ref}(t) \approx - \eta(t)\)$

d’ou l’asservissement de \(F_c\) et \(C_t\)

\[ F_c = -K_c ( (x-x_{ref}) + T_c (\dot{x}-\dot{x}_{ref})) \]
\[ C_t = -g -K_t ( (l-l_{ref}) + T_t (\dot{l}-\dot{l}_{ref})) \]
xref = x
lref = -y
display("trajectoire idéale:",xref, lref)

'trajectoire idéale:'
\[\displaystyle \frac{t^{5} x_{f} \left(\frac{70 t^{4}}{t_{f}^{4}} - \frac{315 t^{3}}{t_{f}^{3}} + \frac{540 t^{2}}{t_{f}^{2}} - \frac{420 t}{t_{f}} + 126\right)}{t_{f}^{5}}\]
\[\displaystyle l_{0} + \frac{t^{5} \left(- l_{0} + l_{f}\right) \left(\frac{70 t^{4}}{t_{f}^{4}} - \frac{315 t^{3}}{t_{f}^{3}} + \frac{540 t^{2}}{t_{f}^{2}} - \frac{420 t}{t_{f}} + 126\right)}{t_{f}^{5}}\]
# asservissement
Kc, Tc = sp.symbols('K_c T_c')
Fca = -Kc*((xc-xref)+(xcp-xref.diff(t,1))*Tc)
Fca = Fca.simplify()
display(Fca)
Kt, Tt = sp.symbols('K_t T_t')
Cta = -g -Kt*((l-lref)+(lp-lref.diff(t,1))*Tt)
Cta = Cta.simplify()
display(Cta)
\[\displaystyle \frac{K_{c} \left(630 T_{c} t^{8} x_{f} - 2520 T_{c} t^{7} t_{f} x_{f} + 3780 T_{c} t^{6} t_{f}^{2} x_{f} - 2520 T_{c} t^{5} t_{f}^{3} x_{f} + 630 T_{c} t^{4} t_{f}^{4} x_{f} - T_{c} t_{f}^{9} \dot{x}_{c} + 70 t^{9} x_{f} - 315 t^{8} t_{f} x_{f} + 540 t^{7} t_{f}^{2} x_{f} - 420 t^{6} t_{f}^{3} x_{f} + 126 t^{5} t_{f}^{4} x_{f} - t_{f}^{9} x_{c}\right)}{t_{f}^{9}}\]
\[\displaystyle \frac{K_{t} \left(- T_{t} \left(5 t^{5} \left(l_{0} - l_{f}\right) \left(56 t^{3} - 189 t^{2} t_{f} + 216 t t_{f}^{2} - 84 t_{f}^{3}\right) + 5 t^{4} \left(l_{0} - l_{f}\right) \left(70 t^{4} - 315 t^{3} t_{f} + 540 t^{2} t_{f}^{2} - 420 t t_{f}^{3} + 126 t_{f}^{4}\right) + t_{f}^{9} \dot{l}\right) - t^{5} \left(l_{0} - l_{f}\right) \left(70 t^{4} - 315 t^{3} t_{f} + 540 t^{2} t_{f}^{2} - 420 t t_{f}^{3} + 126 t_{f}^{4}\right) + t_{f}^{9} \left(l_{0} - l\right)\right) - g t_{f}^{9}}{t_{f}^{9}}\]
# fct python
FCa = 0
CTa = 0
Xref = 0
Lref = 0
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION

7.1.4.3. Equation lagrange avec couple#

if La is not None:
    alpha = sp.Symbol('alpha')
    La = sp.simplify(La.subs({M:alpha*m}))
    display(La)
    Fc, Ct = sp.symbols('F_c C_t')
    LM = LagrangesMethod(La,[theta,xc,l],forcelist=[(C,Fc*alpha*m*RO.x),(Rt,Ct*m*rho*RO.z)], frame = RO)
    eq = sp.simplify(LM.form_lagranges_equations())
    display(eq)

# calcul du second membre
if La is not None:
    smb = sp.simplify(sp.simplify(LM.rhs()).doit())
    display(smb)
    smbF = sp.lambdify([theta,xc,l,thetap,xcp,lp,Fc,Ct,g,alpha],smb,'numpy')

7.1.4.4. Simulation de la trajectoire#

printmd("### parametres trajectoire: Xf={} L0={} Lf={} Lm={} alpha={}".
        format(_XF_,_L0_,_L1_,_L2_,_ALPHA_))

parametres trajectoire: Xf=7.0 L0=7.0 Lf=8.0 Lm=4.0 alpha=0.8

# PARAMETRES NUMERIQUES
TF = 10.0
#TF = 8.0
XF = 0
L0 = 0
LF = 0
ALPHA = 0
### BEGIN SOLUTION
### END SOLUTION
GG = 9.81
# 
KC = 50.0
TC = 20./KC
KT = 50.0
TT = 20./KT
Nt = 400
tt = np.linspace(0,TF,Nt)

7.1.5. cas non linéaire#

  • ddl fonction de la trajectoire (idéale) \(\xi\) \(\eta\) $\( x_{ref} = \xi - \frac{\eta\ddot{\xi}}{\ddot{\eta}-g}\)$

\[ l_{ref} = \sqrt{(\frac{\eta\ddot{\xi}}{\ddot{\eta}-g})^2 + \eta^2}\]
xref = x - y*x.diff(t,2)/(y.diff(t,2)-g)
xref = xref.doit()
lref = sp.sqrt((y*x.diff(t,2)/(y.diff(t,2)-g))**2 + y**2)
lref = lref.doit()
#print(xref, lref)

# asservissement pour obtenir la trajectoire
Kc, Tc = sp.symbols('K_c T_c')
Fca = -Kc*((xc-xref)+(xcp-xref.diff(t,1))*Tc)
#Fca = Fca.simplify()
#display(Fca)
#print(Fca)
Kt, Tt = sp.symbols('K_t T_t')
Cta = -g - Kt*((l-lref)+(lp-lref.diff(t,1))*Tt)
#Cta = Cta.simplify()
#display(Cta)
#print(Cta)

# fct numpy
FCa = sp.lambdify([t,xc,xcp,xf,l0,lf,tf,Kc,Tc,g],Fca,'numpy')
CTa = sp.lambdify([t,l,lp,xf,l0,lf,tf,Kt,Tt,g],Cta,'numpy')
Xref= sp.lambdify([t,xf,l0,lf,tf,g],xref,'numpy')
Lref= sp.lambdify([t,xf,l0,lf,tf,g],lref,'numpy')

# fonction 2nd membre
def F(Y,t):
    '''2nd mbre de l EDO dY/dt = F(Y,t) '''
    global ALPHA,TF,XF
    ### BEGIN SOLUTION
    FC = FCa(t,Y[1],Y[4],XF,L0,LF,TF,KC,TC,GG)
    CT = CTa(t,Y[2],Y[5],XF,L0,LF,TF,KT,TT,GG)
    FF = smbF(Y[0],Y[1],Y[2],Y[3],Y[4],Y[5],FC,CT,GG,ALPHA)
    return FF[:,0]
    ### END SOLUTION
    return

# simulation
Y0 = [0.0, 0.0, L0, 0., 0., 0. ]
if La is not None:
    print(F(Y0,0.))
    sol = odeint(F,Y0,tt)
    THETA = sol[:,0]
    XC    = sol[:,1]
    LL    = sol[:,2]

Tracer du mouvement

7.1.6. Evitement d’un obstacle (optionnel)#

  • au milieu de la trajectoire se trouve un obstacle et la charge doit avoir en ce point une hauteur \(l_m\).

  • Refaire la planification de trajectoire dans ce cas: trajectoire ACB

obstacle

  • sans obstacle la trajectoire droite: $\( y = l_0 + (l_f-l_0) x \)$

  • avec obstacle tq \(y=y_a\): on xie par une parabole $\( y = l_0 + (l_f-l_0) x (a+bx+cx^2)\)$

avec 3 conditions:

  • \(y = l_f\) en x=1

  • \(y = l_a\) en x=1/2

  • \(\dot{y} = 0\) en x=1/2

pour \(l_a = 2l_f - l_0\) on trouve:

\[ y = l_0 + (l_f-l_0) x (9-12x+4x^2)\]

7.1.7. FIN du TP#

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