Exercises: pertes de charge

Contenu

7. Exercises: pertes de charge#

7.1. Période des petits mouvements du pendule#

A l’aide d’une analyse dimensionnelle déterminer la période d’oscillation d’un pendule de masse $m$ et de longueur $l$ soumis à la gravité $\vec{g}$.

7.2. Perte de charge#

L’expérience et l’analyse montrent que la perte d’énergie $\Delta E$ par unité de volume entre l’entrée et la sortie d’une conduite cylindrique de longueur $L$ et de rayon $R=D/2$ contenant un liquide de viscosité $\mu$ et de vitesse $v$ est fonction de

\[∆E=f(\mu,u,D,L,\rho )\]

A l’aide d’une analyse dimensionnelle fournir les nombres caractéristiques associés à ce problème.

7.3. Conduite cylindrique#

On cherche à démontrer que dans une conduite horizontale cylindrique de section constante (de rayon $D/2$), un écoulement laminaire de vitesse $U$ possède un coeﬃcient de perte de charge $\psi$ tel que $$\psi = \frac{64}{Re} \mbox{ avec } Re= \frac{\rho UD}{\mu}$$

A quoi est du la perte de charge ?
En déduire les paramètres du problème
En déduire par analyse dimensionnelle la forme de $\psi(Re)$.
En déterminant la solution analytique, retrouver l’expression de $\psi$

7.4. Dimensionnement d’une pompe#

On veut calculer le puissance nécessaire pour transporter dans une conduite horizontale de $10\,cm$ de diamètre et de $10\,km$ de long $50\,m^3$ par heure d’une huile de masse volumique $\rho = 0.95\,g/cm^3$ et de viscosité dynamique $\mu= 0.2\,Pa.s$.

Fournir la perte de charge.
Donner la puissance.
Qu’en est-il si on remplace l’huile par de l’eau (masse volumique $\rho= 1000 \,kg/m^3$ et viscosité dynamique $\mu= 10^{−3}Pa.s$) ?

7.5. Vidange d’un réservoir#

On considère un réservoir rempli d’un ﬂuide newtonien incompressible de masse volumique $\rho$, jusqu’à une hauteur $h_0$ supposée constante, à laquelle se situe la surface libre en contact avec l’atmosphère extérieure, dont la pression est uniforme et égale à $P_0$ donnée.

Le fond du réservoir est percé d’un oriﬁce circulaire de diamètre $d$, relié à une conduite circulaire de même diamètre dont la ligne moyenne décrit un demi-cercle de rayon R. On note : $\vec{g} = −g \vec{e}_z$ l’intensité supposée uniforme de la pesanteur dont les eﬀets ne sont pas négligés dans cette analyse.

On suppose enﬁn que les seules pertes de charge devant être prises en compte sont les pertes linéiques qui se produisent dans la conduite avec un coeﬃcient $\psi$ supposé constant et donné.

On note $h$ la hauteur à laquelle s’élève le jet à la sortie de la conduite, et $V$ la vitesse de débit de l’écoulement dans la conduite où il est supposé turbulent.

Exprimer la charge $E_A$ dans la section d’entrée de la conduite en fonction de $P_0$,$\rho$,$h_0$,$g$.
Pourquoi la pression dans la section de sortie de la conduite est-elle égale à la pression atmosphérique?
Calculer $V$ en fonction $R$,$d$,$\psi$,$h_0$,$g$.
Fournir le rapport $h/h_0$ en fonction de $R$,$d$,$\psi$.
Commenter physiquement ce qui est traduit par une valeur non-nulle du coeﬃcient de perte de charge.
Qu’obtient-on pour une valeur nulle de ce coeﬃcient ? Commenter physiquement ce résultat.