Approximation de Boussinesq

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3. Approximation de Boussinesq#

C’est une approximation des équations de Navier-Stokes pour des écoulements incompressibles dans lesquels existe un gradient de masse volumique vertical entraînant l’absence d’équilibre hydrostatique. Ce type de méthode a été introduite en 1877 par Joseph Boussinesq, professeur de mécanique à l’Université de Lille (Wikipedia)

3.1. Hypothèses#

on veut prendre en compte des variations de masse volumique avec la température

hypothèse: faible variation de température, écoulement iso-volume

hors équilibre hydro-statique
prise en compte de variation de $ρ$ en fonction de $T$

ρ = ρ (T) = ρ_{0} + \frac{\partial ρ}{\partial T} (T - T_{0}) = ρ_{0} - α (T - T_{0})

application écoulement convection libre, écoulement stratifié, atmosphère

attention ce modèle n’est valable que pour de faible variation de température !!!!

3.2. Equations de bilan#

développement autour du champ moyen statique, en supposant un écoulement à faible nombre de Mach isobare (i.e. les variations de pression n’ont pas d’influence sur les quantités thermodynamiques)

ρ_{0}, {\vec{U}}_{0} = 0, T_{0}, P_{0} = ρ_{0} g z

calcule de la fluctuation

δ T = T - T_{0}, δ \vec{U} = \vec{u}, δ ρ = ρ_{0} - ρ, δ P = P - P_{0}

avec $δ ρ ≪ ρ_{0}$

δ T = θ, δ P = ρ_{0} p et δ ρ = - α ρ_{0} θ

3.2.1. bilan de masse:#

\frac{\partial ρ}{\partial t} + d i v (ρ \vec{U}) = 0

qui à l’ordre 1 donne

\frac{\partial ρ_{0}}{\partial t} + d i v (ρ_{0} \vec{u}) = 0

⇝ d i v \vec{u} = 0

le champ de vitesse est donc iso-volume

3.2.2. bilan de quantité de mouvement:#

\frac{\partial ρ \vec{U}}{\partial t} + d i v (ρ \vec{U} \otimes \vec{U}) = ρ \vec{g} - \vec{g r a d} P + μ Δ \vec{U}

qui à l’ordre 1 donne

ρ_{0} \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + ρ_{0} \vec{u} . \vec{g r a d} \vec{u} = - α ρ_{0} θ \vec{g} - \vec{g r a d} (ρ_{0} p) + μ Δ \vec{u}

soit:

\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u} . \vec{g r a d} \vec{u} = - α θ \vec{g} - \vec{g r a d} p + ν Δ \vec{u}

on constate la présence d’un terme de flottabilité $- α θ \vec{g}$ qui pousse l’air chaud vers le haut dans la direction verticale (opposée à $\vec{g}$ ).

3.2.3. bilan d’énergie#

à partir de l’équation de bilan d’énergie écrite pour l’entalpie $H$ par unité de masse:

ρ \frac{D H}{D t} - \frac{\partial P}{\partial t} = d i v (λ \vec{g r a d} T) + {\overset{―}{σ}}_{v} . \overset{―}{\overset{―}{g r a d}} \vec{U}

En supposant l’écoulement isobare, en négligeant le frottement visqueux, on obtiens une équation sur sur $θ = T - T_{0}$ , en notant $δ H = C_{p} θ$

ρ_{0} \frac{D C_{p} θ}{D t} = d i v (λ \vec{g r a d} θ)

qui fournit l’équation classique de convection-diffusion de la fluctuation de tempéarture $θ$ :

\frac{\partial θ}{\partial t} + \vec{u} . \vec{g r a d} θ = β Δ θ

avec $β = \frac{λ}{ρ_{0} C_{p}}$

3.3. Equations de Boussinesq#

équations de Boussinesq pour des faibles variations de température

(3.3)#

\begin{array}{rcl} d i v \vec{u} & = & 0 \\ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u} . \vec{g r a d} \vec{u} & = & - α θ \vec{g} - \vec{g r a d} p + ν Δ \vec{u} \\ \frac{\partial θ}{\partial t} + \vec{u} . \vec{g r a d} θ & = & β Δ θ \end{array}