3. Approximation de Boussinesq

C’est une approximation des équations de Navier-Stokes pour des écoulements incompressibles dans lesquels existe un gradient de masse volumique vertical entraînant l’absence d’équilibre hydrostatique. Ce type de méthode a été introduite en 1877 par Joseph Boussinesq, professeur de mécanique à l’Université de Lille (Wikipedia)

3.1. Hypothèses

on veut prendre en compte des variations de masse volumique avec la température

hypothèse: faible variation de température, écoulement iso-volume

• hors équilibre hydro-statique

• prise en compte de variation de \(\rho\) en fonction de \(T\)

\[ \rho = \rho(T) = \rho_0 + \frac{\partial \rho}{\partial T} (T-T_0) = \rho_0 - \alpha (T-T_0)\]

application écoulement convection libre, écoulement stratifié, atmosphère

attention ce modèle n’est valable que pour de faible variation de température !!!!

3.2. Equations de bilan

développement autour du champ moyen statique, en supposant un écoulement à faible nombre de Mach isobare (i.e. les variations de pression n’ont pas d’influence sur les quantités thermodynamiques)

\[\rho_0, \vec{U}_0 = 0, T_0, P_0 = \rho_0 g z \]

calcule de la fluctuation

\[\delta T = T-T_0, \delta \vec{U} = \vec{u}, \delta \rho = \rho_0 - \rho, \delta P = P - P_0 \]

avec \(\delta \rho \ll \rho_0\)

\[ \delta T = \theta , \delta P = \rho_0 p \mbox{ et } \delta \rho = -\alpha \rho_0 \theta \]

3.2.1. bilan de masse:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + div (\rho \vec{U}) = 0 \]

qui à l’ordre 1 donne

\[\frac{\partial \rho_0}{\partial t} + div (\rho_0 \vec{u}) = 0\]

\[ \leadsto div \vec{u} = 0 \]

le champ de vitesse est donc iso-volume

3.2.2. bilan de quantité de mouvement:

\[ \frac{\partial \rho \vec{U}}{\partial t} + div (\rho \vec{U}\otimes \vec{U}) = \rho \vec{g} - \overrightarrow{grad}\, P + \mu \Delta \vec{U} \]

qui à l’ordre 1 donne

\[ \rho_0 \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \rho_0 \vec{u}.\overrightarrow{grad}\vec{u} = -\alpha\rho_0\theta \vec{g} - \overrightarrow{grad}(\rho_0 p) + \mu \Delta \vec{u} \]

soit:

\[ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u}.\overrightarrow{grad}\,\vec{u} = -\alpha\theta \vec{g} - \overrightarrow{grad}\, p + \nu \Delta \vec{u} \]

on constate la présence d’un terme de flottabilité \(-\alpha\theta \vec{g}\) qui pousse l’air chaud vers le haut dans la direction verticale (opposée à \(\vec{g}\)).

3.2.3. bilan d’énergie

à partir de l’équation de bilan d’énergie écrite pour l’entalpie \(H\) par unité de masse:

\[ \rho \frac{D H}{D t} - \frac{\partial P}{\partial t} = div(\lambda\overrightarrow{grad}T) + \overline{\sigma}_{v}.\overline{\overline{grad}}\overrightarrow{U} \]

En supposant l’écoulement isobare, en négligeant le frottement visqueux, on obtiens une équation sur sur \(\theta = T - T_0\), en notant \(\delta H = C_p \theta\)

\[\rho_0 \frac{D C_p \theta}{D t} = div(\lambda\overrightarrow{grad}\theta)\]

qui fournit l’équation classique de convection-diffusion de la fluctuation de tempéarture \(\theta\):

\[ \frac{\partial \theta}{\partial t} + \vec{u}.\overrightarrow{grad}{\theta} = \beta \Delta \theta \]

avec \(\beta = \frac{\lambda}{\rho_0 C_p}\)

3.3. Equations de Boussinesq

équations de Boussinesq pour des faibles variations de température

(3.3)\[\begin{eqnarray} div\, \vec{u} &=& 0 \\ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{u}.\overrightarrow{grad}\,\vec{u} &=& -\alpha\theta \vec{g} - \overrightarrow{grad}\, p + \nu \Delta \vec{u}\\ \frac{\partial \theta}{\partial t} + \vec{u}.\overrightarrow{grad}{\theta} &=& \beta \Delta \theta \\ \end{eqnarray}\]