2. Révision/Questions#

2.1. Questions de cours#

2.1.1. Ecoulement stationnaire bidimensionnel#

On considère un écoulement stationnaire bidimensionnel, dont le champ de vitesse \(\vec{U}\) a pour gradient:

\[\begin{split} \overrightarrow{grad}\vec{U}=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & -2 \end{array}\right] \end{split}\]

  1. Calculez \(div\,\overrightarrow{U}\). L’écoulement était-il incompressible ?

  2. Calculez \(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U}\). L’écoulement était-il irrotationnel ?

  3. Calculez la dérivée particulaire \(\frac{D\overrightarrow{U}}{Dt}\) au point M de vitesse

\[\begin{split}\overrightarrow{U}(M)=\left[\begin{array}{c} 1\\1 \end{array}\right]\end{split}\]

L’écoulement est-il accéléré suivant x? et suivant y?

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  1. \(div\,\overrightarrow{U} = 2 + -2 = 0\) donc incompressible

  2. \(\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{U} = (1-1) \vec{e}_z = \vec{0}\) donc irrotationnel

  3. Accélération suivant x et décélération suivant y car:

\[\frac{D\overrightarrow{U}}{Dt}= \overrightarrow{U}.\overrightarrow{grad}\vec{U}= [3, -1]\]

2.1.2. Fluide newtonien incompressible#

Pour un fluide newtonien incompressible,

  1. Écrire la relation contrainte visqueuse déformation. En déduire la contrainte exercée par le fluide sur une plaque horizontale en fonction de la vitesse.

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tenseur des contraintes visqueuses:

\[\overline{\overline{\sigma_v}} = \mu\left(\overrightarrow{\nabla}\overrightarrow{U} + \overrightarrow{\nabla}^t\overrightarrow{U} \right)\]

On retrouve l’expression classique de la contrainte de cisaillement à la paroi en notant \(u\) la vitesse près de la paroi (qui est parallèle à la paroi) et \(y\) la direction normale à la paroi.

\[\tau=\mu\frac{\partial u}{\partial y}|_{paroi}\]

2.1.3. Fluide quelconque#

Pour un fluide quelconque

  1. Écrire l’équation générale de conservation de la masse.

  2. Définir l’enthalpie par unité de volume en fonction de l’énergie interne \(e\) par unité de masse ?

  3. Écrire l’équation d’état d’un gaz parfait en fonction de \(p\), \(\rho\) et \(e\)?

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  1. bilan de masse

\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + div \rho\vec{u} = 0 \]

  1. entalpie

\[h = e + \frac{p}{\rho} \]

  1. équation d’état

\[ e=\frac{1}{\gamma-1}\frac{p}{\rho}\]

2.1.4. Ecoulement stationnaire#

Pour un écoulement stationnaire:

  1. Que traduit l’équation intégrale de bilan de masse?

  2. Que traduit l’équation intégrale de bilan de quantité de mouvement?

  3. A quoi correspond le théorème de Bernoulli et quelles sont ces conditions d’applications?

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  1. conservation de la masse i.e.

variation masse au cours du temps = bilan du flux de masse à travers la surface du domaine 2. principe fondamental de la dynamique i.e.

variation de la quantité de mouvement = somme des forces appliquées (pression, gravité, forces de viscosité)

  1. bilan d’energie cinétique i.e.

variation d’énergie cinétique = - variation de pression

\[p + \frac{1}{2} \rho v^2 = cste \]

hyp: fluide parfait incompressible, écoulement stationnaire irrotationnel

2.1.5. Portance#

On veut étudier la force de portance \(F_{L}\) (par unité de longueur d’envergure) sur un profil d’aile de corde \(L\) dans un écoulement incompressible stationnaire d’angle \(\alpha\).

  1. Définir le nombre de Reynolds de l’écoulement et donner sa signification

  2. De quels paramètres dépend la force de portance \(F_{L}\) et quels sont les nombres sans dimension du problème?

  3. Écrire la forme sans dimension de la loi de portance

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  1. Reynolds = rapport accélération convective sur force de viscosité

\[Re = \frac{\rho U L }{\mu} \]

  1. paramètres: \(L\), \(\alpha\), \(U\) , \(\rho\), \(\rho\) , 3 unités (M,L,T)

5-2 nombres sans dimension: \(Re\) et \(\alpha\)

  1. loi de portance

\[ \frac{F_L}{\rho U^2 L} = C_L(Re,\alpha) \]

2.1.6. Écoulement en conduite#

Pour un écoulement en conduite:

  1. Quelle est la définition de la perte de charge pour un écoulement dans une conduite de section circulaire?

  2. Quelle est la forme sans dimension de cette loi de perte de charge?

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  1. le coefficient de perte de charge \(K\) donne la variation de pression pour une longueur \(L\) d’une conduite de diamètre \(D\)

\[K = \frac{\Delta p}{\frac{1}{2}\rho U^2}\]

  1. Coefficient est fonction de 2 nombres sans dimension pour

\[ K = K(Re,\alpha) \mbox{ avec } Re=\frac{\rho U D}{\mu} \mbox{ et } \alpha = \frac{L}{D} \]

2.1.7. Écoulement en rivière#

Pour un écoulement de rivière de profondeur h (écoulement d’eau à surface libre):

  1. Quels sont les paramétrés du problème, et en déduire les nombres sans dimension dont dépend la solution.

  2. Parmi ces expressions \(gh\), \(g/h\), \(\sqrt{gh}\), \(\sqrt{g/h}\), quelle est la bonne expression de la célérité \(c_{0}\) des ondes de surface (on justifiera la réponse)

  3. Quel nombre sans dimension fait apparaître cette célérité \(c_{0}\)

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  1. paramètres: \(h\) , \(g\), \(U_0\) - 2 unités (L,T)

\[ Fr = \frac{U_0}{\sqrt{gh}} \mbox{ Froude}\]

  1. célérité \(c_0 = \sqrt{gh}\)

  2. nombre de Froude \(Fr\)