5. Exercices: cinématique#

5.1. Relation vectorielle#

Démontrer la relation vectorielle pour un vecteur \(\vec{v}\) de \(\mathbf{R}^3\) quelconque:

\[ \vec{v}.\overrightarrow{grad}\,\vec{v} = \frac{1}{2} \overrightarrow{grad}\,v^2 - \vec{v}\wedge \overrightarrow{rot}\,\vec{v} \]

5.2. Champ de vitesse#

On considère le champ de vitesse \(\vec{v}= (u,v)\) donné par

\[ u(x,y,t) =−xt \mbox{ et } v(x,y,t) =yt^2\]

5.2.1. partie A#

  1. Calculer la densité \(\rho\) en supposant qu’elle ne dépend que du temps \(\rho = \rho(t)\)

  2. Tracer le champ de vitesse à l’instant \(t= 1\).

  3. Déterminer les lignes de courant à \(t= 1\).

  4. Déterminer les trajectoires des particules fluides.

  5. Calculer l’évolution du volume d’une particule fluide le long de sa trajectoire.

5.2.2. Partie B#

On considère une particule fluide carrée de côté \(h=0.1\) située à l’instant \(t= 2\) en \(x= 1\) et \(y= 1.\)

  1. Calculer la forme de la particule fluide au bout d’un temps \(\Delta t= 0.01\).

  2. Calculer son accélération.

  3. L´ écoulement est-il irrotationnel ?

5.3. Tourbillon de Taylor#

On considère le champ de vitesse suivant:

\[ u(x,y,t) = \sin{\pi x} \cos{\pi y} \mbox{ et } v(x,y,t) =− \cos{\pi x} \sin{\pi y} \]

  1. L’écoulement est-il stationnaire, compressible, irrotationnel ?

  2. Montrer que les lignes de courant correspondent aux courbes d’équation

\[ \sin\pi x \sin \pi y=Cte \]

  1. Fournir l’accélération.

5.4. Cycloïdes#

Soit l’écoulement plan défini par le champ de vitesse suivant:

\[ u(x,y,t) = \omega y \mbox{ et } v(x,y,t) =−\omega x+ a \omega^2 t \]

où \(a\) et \(\omega\) sont deux constantes positives.

  1. Déterminer les lignes de courant et les trajectoires.

  2. Calculer l’accélération. Que se passe-t-il lorsque \(a= 0\)?

5.5. Milieu expansif#

On considère l’écoulement donné par le champ de vitesse

\[ u(x,y,t) = \frac{x}{\tau + t} \mbox{ , } v(x,y,t) = 0 \mbox{ , } w(x,y,t) = 0\]

où \(\tau >0\) est une constante homogène à un temps.

  1. L’écoulement est-il stationnaire, compressible, irrotationnel ?

  2. Déterminer la masse volumique \(\rho\) du milieu sachant que ce milieu est homogène et que la valeur de \(\rho\) à \(t= 0\) vaut \(\rho_0\).

  3. Calculer la masse totale située à l’intérieur d’un cylindre de révolution de section \(S\), limité par les plans \(x=l\) et \(x= 3l\).

  4. Déterminer le flux de masse traversant la surface frontière du cylindre précédent.