2. Approximation de couche limite#

Fig. 2.23 écoulement autour d’une voiture DS citroen#
A grand nombre de Reynolds, l’écoulement autour d’un obstacle peut se décomposer en plusieurs zones:
loin des parois de l’obstacle, les effets visqueux sont négligeables (écoulement fluide parfait)
proche des parois solides, dans une zone d’épaisseur \(\delta\) (couche limite)
à l’arrière dans une zone de sillage (écoulement turbulent)
\(Ma\ll1\), \(Re\gg1\) mais stationnaire et laminaire, \(Fr\gg1\)

Fig. 2.24 écoulement de couche limite#
Échelles de l’écoulement à une position \(x\) du bord d’attaque: \(x,\,\delta,\,U_{\infty},\,\rho,\,\mu\)
nombres sans dimension \(Re_{x}=\frac{\rho U_{\infty}x}{\mu}\gg1\) et \(\epsilon=\frac{\delta}{x}\ll1\)
\(div\,\overrightarrow{U}=0\) donne l’ordre de grandeur de la vitesse \(V\) suivant y: \(V\approx\epsilon U_{\infty}\)
A l’extérieure, l’écoulement est uniforme \(\Longrightarrow\) \(\frac{\partial p}{\partial x}=0\)
dans la CL équilibre inertie = force visqueuse\[\rho u\frac{\partial u}{\partial x}\approx\mu\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}\,\Longrightarrow\epsilon=\frac{\delta}{x}\approx\frac{1}{\sqrt{Re_{x}}}\]
théorie de Prandtl (1875-1953) fondateur de l’aérodynamique
hypothèse: \(\epsilon=\delta/x=\theta(Re_{x}^{-1})\ll1\)
analyse en ordre de grandeur \(U_{0}\approx U_{\infty},\,V_{0}\approx\epsilon U_{\infty},\,x,\,\delta\approx\epsilon x,\,\epsilon^{2}\approx Re_{x}^{-1}\)
gradient de pression externe \(\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx}=\pi(x)\) donné
système 2 inconnues \(u(x,y)\) et \(v(x,y)\): avec \(\psi(x,y)\) \(\leadsto\) une équation
Solution auto-similaire de Blasius (étudiant de Prandtl) pour \(\pi=0\)
le profil auto-similaire \(f(\eta)\) est solution de l’équation de Blasius:
développement de la couche limite (frottement \(C_{f}(x)\))
traînée sur une plaque plane de longueur \(L\), largueur \(b\) avec

Fig. 2.25 solution de Blasius \(F(\eta)\)#

Fig. 2.26 profil de vitesse U horizontale#

Fig. 2.27 profil de vitesse V verticale#