Méthode des éléments finis pour la mécanique#
par Marc BUFFAT, dpt Mécanique, Université Lyon 1[1]
Introduction#
Ce cours est la seconde version de mon cours d’éléments finis en master mécanique. La première version, qui se trouve ici
utilisait des exemples de programmes sous Maple et Matlab. Cette nouvelle version est une mise à jour importante, avec maintenant des exemples de programme écrit en Python et l’utilisation de notebook Ipython.
Objectifs#
En mécanique, la modélisation de nombreux problèmes conduit à des équations aux dérivées partielles, dont on ne connaît pas en général de solutions analytiques. La puissance des ordinateurs et des logiciels permet aujourd’hui de calculer des solutions numériques de la plupart de ces équations aux dérivées partielles.
L’objectif du cours est de comprendre les principes de la méthode des éléments finis, qui est une des méthodes numériques les plus utilisées en mécanique et d’acquérir une démarche de modélisation numérique rigoureuse. En effet, même s’il existe des logiciels de modélisation par éléments finis très sophistiqués, il est important de comprendre les méthodes numériques utilisées, pour pouvoir utiliser ces logiciels intelligemment en connaissant leurs limites et surtout pouvoir valider la simulation en ayant une idée des erreurs d’approximation.
Le cours se base sur une approche mécanicienne, dans laquelle on explique les principes sans forcement faire de démonstrations rigoureuses au sens mathématique. En particulier on n’utilisera très peu d’analyse fonctionnelle, ni d’espaces de Hilbert, qui sont la base des théories mathématiques sur les éléments finis, utiliser en particulier pour démontrer existence et unicité des solutions approchées. Néanmoins, le cours nécessite un certain nombre de connaissances préalables:
en mécanique analytique: principe des travaux virtuels
en analyse mathématique: intégration, dérivation de fonction
en analyse numérique: interpolation, approximation d’intégrale
compétences à acquérir#
connaître le principe de la méthode des éléments finis
savoir formuler un problème d’EDP (équations aux dérivées partielles) sous forme de formulation faible (Lagrange)
savoir construire une approximation
connaître les propriétés de l’approximation ( précision/propriétés )
savoir mettre en oeuvre cette méthode sur des cas simples: i.e. la programmer en Python pour comprendre
savoir utiliser intelligemment des logiciels d’EF (COMSOL)
Historique#
ère pré-informatique (début 20ième)#
Les mathématiciens se sont intéressés très tôt à la recherche de solutions approchées, bien avant l’avènement des ordinateurs. La théorie mathématique d’approximation des EDP est basée sur le calcul variationnel, l’approximation et l’interpolation développés en particulier par:
Lord Rayleigh(Anglais 1842-1919) , Walter Ritz (Suisse 1878-1909), Boris Galerkin (Russe 1871-1945)
Richard Courant (Allemand 1888-1972)
début de l’ère informatique (1960-1970)#
écriture des premiers programmes de calcul par EF en mécanique des structures
Zinkiewicz (Swansea), Argiris (Stuttgart), Ciarlet (Paris VI), ..
la NASA sponsorise les premières versions de NASTRAN
Une formulation mathématique rigoureuse est présentée dans le livre de Strang et Fix (1973), et les mathématiciens de l’école française d’analyse numérique (Cialet, Raviard).
développement et généralisation#
approximation d’EDP dans tous les domaines des sciences
électromagnétisme, thermique, mécanique des fluides
approche multi-physique (COMSOL, ..)
extensions de la méthode des E.F.
h-méthode,
p-methode,
discontinuous Galerkin
Exemples de simulations par EF#
Vibration d’un vilebrequin#
Maillage (à gauche), champ de contrainte et de déplacement (à droite)
Écoulement autour d’un sous-marin#
Maillage de la coque d’un sous marin pour le calcul de l’écoulement
CFD (Computational Fluid Dynamics?)#
Mais attention au mirage des images issues de la simulation. Ce n’est pas parce que le résultat est joli, que le calcul a un sens, comme ici avec l’écoulement autour du vaisseau l’entreprise.
Il ne faut pas transformer la CFD (Computational Fluid Dynamics) en Color Fluid Dynamics.
Concept de base#
Le principe de la méthode des éléments finis est de calculer une approximation \(u^h\) de la solution \(u_e\) d’une EDP dans un domaine \(\Omega\)
Pour cela la démarche utilisée est la suivante
démarche de simulation
discrétisation du domaine par un maillage
choix du type d’interpolation (polynomiale) sur ce maillage (condition de compatibilité)
détermination de la solution \(u^h\) (principe variationnel)
estimation d’erreur \(|u_e-u^h|\)
adaptation du maillage pour améliorer la solution si nécessaire
solution d’un problème elliptique (calcul de champ scalaire)#
Exemple de base d’un maillage et de la solution, où l’on remarque l’utilisation d’un maillage non uniforme avec un raffinement de la solution
