8. Problème instationnaire (hyperbolique)#
8.1. Etude de la vibration d’une corde souple#
Considérons une corde tendue suivant l’axe

Fig. 8.1 corde tendue souple au repos et à un instant t#
On suppose que la corde est sans raideur (ou souple), c’est à dire que
la résultante des contraintes est la tension
Considérons un élément de corde
A l’instant
L’angle
Pour de petits déplacements (
L’allongement relatif du brin
La tension dans la corde est donc la somme de la tension initiale
où
L’équation d’équilibre dynamique pour le brin
En ne conservant que les termes du premier ordre (petites oscillations), on obtiens un système de 2 équations découplées :
qui sont 2 équations des ondes, correspondant respectivement à des ondes
de flexion (
Dans la cas d’une corde de section
Dans le cas d’une corde de section
avec
A cette équation on ajoutte des conditions aux limites de déplacement nul aux 2 extrémitées:
et des conditions initiales (CI) : déformation
8.2. Formulation faible#
La formulation faible de l’équation des ondes (8.3)
s’obtient classiquement en multipliant par une
fonction test
En intégrant par partie le membre de droite, et en utilisant les
conditions aux limites de Dirichlet (CL) sur
on obtiens la formulation faible suivante:
Cette formulation faible correspond au théorème des travaux virtuels,
qui traduit la condition de minimisation de l’action
La formulation variationnelle associée s’écrit alors:
8.3. Formulation éléments finis#
Pour construire une approximation
En tenant compte des conditions aux limites (8.5),
et des propriétés des fonctions de base
l’approximation possède
On note que, contrairement aux problèmes statiques étudiés précédemment,
les coefficients
C’est un système de
où
Ce système s’écrit sous la forme suivante (noté le signe - devant la
matrice
auquel on ajoute les conditions initiales (8.6).
La matrice
La solution générale de ce système d’équations différentielles linéaires
est donc la somme de
les
D’un point de vue mécanique, la vibration du système est une combinaison
de modes propres de vibration
8.4. Assemblage et calcul des modes propres#
Le calcul des matrices de masse et de raideur utilise la technique d’assemblage décrite dans les chapitres précédents.
On calcule tout d’abord une matrice de masse et de raideur élémentaire
sur l’élément de référence, ce qui permet d’obtenir les matrices
élémentaires de masse
On effectue ensuite un assemblage élément par élément pour calculer les
matrices globales de raideur
La prise en compte des conditions aux limites est effectuée en éliminant les lignes et les colonnes des 2 noeuds frontières (noeud 1 et noeud N).
Pour calculer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice
en utilisant une fonction de calcul de valeurs propres en spécifiant que les matrices sont symétriques définie positives.
8.5. Résultats#
Le calcul a été fait avec
L’amplitude des modes propres de vibration calculés est tracé sur les
figures ci-dessous pour les modes

Fig. 8.2 mode 1#

Fig. 8.3 mode 6#

Fig. 8.4 mode 8#
On constate que la précision diminue lorsque
De même, on a tracé la courbe des fréquences propres calculés comparées
aux fréquences analytiques

Fig. 8.5 fréquences propres#
On constate la encore une diminution importante de la précision lorsque
Conclusion: on vérifie le théorème de Shanon sur l’échantillonnage !