2.3 Classification des équations

La résolution numérique des équations d'équilibre précédentes nécessitent des informations supplémentaires (conditions aux limites et/ou initiales). Le choix et le type de ces conditions sont importantes et conditionnent souvent la résolution numérique. De ce point de vue, nous distinguerons 3 grandes classes de problème.

2.3.1 Problèmes elliptiques

Cette classe de problèmes corresponds à des problèmes stationnaires, qui sont caractéristiques de:

1. phénomène de diffusion (équations 2.3 et2.4),
2. équilibre statique en contraintes (équations 2.9,2.11,2.16),
3. équilibre de fluide visqueux en écoulement stationnaire (équations 2.24)
4. équilibre de fluide en écoulement potentiel (équations 2.25)

Ces équations sont caractérisées par des dérivées secondes en espace (ou des dérivées quatrièmes) affectées de coefficients de même signe. L'équation type, pour des équations aux dérivées secondes, est l'équation de Laplace:

$$\Delta T=\frac{\partial T^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial T^{2}}{\partial y^{2}}=0$$

Pour résoudre cette équation dans un domaine $\Omega$, il faut se donner une condition aux limites ^2.1en tous les points de la frontière $\Gamma=\partial\Omega$ . Cette condition aux limites peut être une:

1. condition de Dirichlet
   on fixe la valeur de la solution sur une partie $\Gamma_{0}$ de la frontière:
   
   
   $$T_{\Gamma_{0}}=T_{0}$$
   
   
   (en mécanique des solides on fixe le déplacement, et en mécanique des fluides la vitesse)
   

2. condition de Neuman
   on fixe la valeur de la dérivée normale sur une partie $\Gamma_{1}$ de la frontière:
   
   
   $$\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_{\Gamma_{1}}=g_{1}$$
   
   
   (pour les équations d'équilibres, on fixe les contraintes sur la frontière)
3. condition mixte (ou Fourier)
   la valeur de la dérivée normale sur une partie $\Gamma_{2}$ de la frontière est fonction de la solution:
   
   $$\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_{\Gamma_{2}}+\alpha T_{\Gamma_{2}}=g_{2}$$
   
   

On doit avoir $\Gamma=\Gamma_{0}\cup \Gamma_{1}\cup \Gamma_{2}$, et la solution dépend de toutes ces conditions aux limites.

Pour des équations d'ordre 4 (2.16), l'équation type est le bi-laplacien :

$$\Delta^{2}u=\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}+\frac{\partial^{4}u}{\partial y^{4}}=0$$

Pour résoudre cette équation dans un domaine $\Omega$, il faut se donner deux conditions^2.2 aux limites en chaque point de la frontière $\Gamma=\partial\Omega$ . Ces 2 conditions peuvent être une combinaison de

1. conditions de Dirichlet: on impose la valeur de la fonction ou de sa dérivée normale
2. conditions de Neuman: on impose la valeur de la dérivée seconde ou troisième dans la direction normale.

2.3.2 Problèmes paraboliques

Cette classe de problèmes corresponds à des problèmes instationnaires, qui sont caractéristiques de:

1. problème de diffusion instationnaire (équations 2.5,2.6)
2. problème de convection-diffusion instationnaire (équations 2.7,2.8
3. fluide incompressible en écoulement instationnaire (équations 2.23)

Ces équations sont caractérisées par des dérivées secondes en espace et des dérivées premières en temps. L'équation type est l'équation de la chaleur:

$$\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}}=0$$

Pour résoudre cette équation dans un domaine $\Omega$, il faut se donner une condition aux limites en chaque point de la frontière $\Gamma=\partial\Omega$ (comme pour les problèmes elliptiques) et une condition initiale: la valeur de la solution à $t=0$.

2.3.3 Problèmes hyperboliques

Cette classe de problèmes corresponds à des problèmes instationnaires, qui sont caractéristiques de:

1. phénomènes de propagation
   équations d'Euler en mécanique des fluides (2.18,2.19,2.21) et équations de l'acoustique (2.21,2.22)
2. phénomènes de vibration
   équations dynamiques en mécanique des solides (2.10,2.13,2.17)

Ces équations sont caractérisées par des dérivées en temps du même ordre que les dérivées en espace. L'équation type est l'équation des ondes:

$$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0$$

qui nécessite pour la résoudre 2 conditions initiales: la valeur de la solution et de sa dérivée temporelle à l'instant initial, et des conditions aux limites.

Dans le cas de système hyperbolique (2.19,2.20), il faut se donner une condition initiale, mais les conditions aux limites sont plus délicates à formuler et dépendent des ondes caractéristiques qui peuvent se propager dans le milieu.