5.4 Algorithme

5.4.1 Définition des repères

On définit 3 repères:

1. le repère fixe $\mathcal{R}_{0}(X_{0},Y_{0},Z_{0})$ avec $Z_{0}$ suivant la verticale
2. le repère $\mathcal{R}_{1}$ en rotation de $\theta$ (précession) autour de $Z_{0}$ avec
   
   
   $$\Omega_{1/0}=\Omega_{\mathcal{R}_{1}/\mathcal{R}_{0}}=\frac{d\theta}{dt}Z_{0}$$
   
   

3. le repère $\mathcal{R}_{2}$ en rotation de $\phi$ (nutation) autour de $Y_{1}$ avec
   
   
   $$\Omega_{2/1}=\Omega_{\mathcal{R}_{2}/\mathcal{R}_{1}}=\frac{d\phi}{dt}Y_{1}$$
   
   

4. la toupie est en rotation de $\psi$ (rotation propre) autour de son $Z_{2}$
   
   
   $$\Omega_{3/2}=\frac{d\psi}{dt}Z_{2}$$
   
   

Les matrices de changement de repère s'écrivent:

$$\mathcal{M}_{0/1}=\left[\begin{array}{ccc} \cos\theta & -\si... ...end{array}\right],\,\,\,\mathcal{M}_{1/0}=\mathcal{M}_{0/1}^{t}$$

$$\mathcal{M}_{1/2}=\left[\begin{array}{ccc} \cos\phi & 0 & \s... ...end{array}\right],\,\,\,\mathcal{M}_{2/1}=\mathcal{M}_{1/2}^{t}$$

5.4.2 Mise en équation

Les équations sont projetés dans $\mathcal{R}_{2}$. Le vecteur instantané de rotation s'écrit dans $\mathcal{R}_{2}$:

$$\Omega_{3/0}=\Omega_{3/2}+\Omega_{2/1}+\Omega_{1/0}=\frac{d\... ...+\frac{d\phi}{dt}Y_{1}+\mathcal{M}_{2/1}\frac{d\theta}{dt}Z_{0}$$

La toupie est un solide de révolution d'axe $Z_{2}$, donc dans $\mathcal{R}_{2}$ la matrice d'inertie est diagonale et vaut:

$$\mathcal{I}_{G}=\left[\begin{array}{ccc} I_{2} & 0 & 0\\ 0 & I_{2} & 0\\ 0 & 0 & I_{1}\end{array}\right]$$

d'où le moment cinétique en $G$ dans $\mathcal{R}_{2}$

$$\sigma(G)=\mathcal{I}_{G}\Omega_{3/0}$$

puis en $O$ en fonction de la vitesse $V_{G}$ en $G$:

$$\sigma(O)=\sigma(G)+OG\wedge mV_{G}\,\,\,\,\,\mbox{avec }\,\,\,\, V_{G}=\Omega_{3/0}\wedge OG$$

On fait alors apparaıtre le moment d'inertie en O

$$I_{20}=I_{2}+ml^{2}$$

Le moment du poids dans $\mathcal{R}_{2}$ s'écrit

$$\mathcal{M}_{P}=lZ_{2}\wedge\left(\mathcal{M}_{2/1}\left(-mgZ_{1}\right)\right)$$

d'où l'équation du mouvement dans $\mathcal{R}_{2}$

$$\frac{d}{dt}\sigma(O)_{/\mathcal{R}_{0}}=\frac{d}{dt}\sigma(O)_{/\mathcal{R}_{2}}+\Omega_{2/0}\wedge\sigma(O)=\mathcal{M}_{P}$$

qui fournit les 3 équations différentielles du second ordre du problème.

5.4.3 Simplification

En notant que la troisième équation (projection suivant $Z_{2}$) traduit la conservation du moment cinétique suivant $Z_{2}$:

$$\sigma(O).Z_{2}=\omega I_{2}=cste$$

on peut simplifier les 2 autres équations

5.4.4 Intégrales premières

En combinant ces équations on doit retrouver les 3 intégrales premières du mouvement:

1. conservation de l'énergie totale
2. conservation du moment cinétique suivant $Z_{0}$
3. conservation du moment cinétique suivant $Z_{2}$

5.4.5 Étude du mouvement

On se place dans le cas d'une toupie constituée d'un disque de rayon $R=0.1$ sur un axe de longueur $l=2R$, avec $g=10$

On se place tout d'abord dans le cas $\phi=\pi/2$ pour retrouver la solution particulière de précession

1. mouvement simple de précession

On étudie ensuite le mouvement en fonction de $\omega I_{2}$ (moment cinétique suivant $Z_{2}$), i.e. en fonction de la vitesse de rotation propre. On résout avec Maple les 3 équations du mouvement en se fixant les conditions initiales suivantes:

$$\theta(0)=0,\,\frac{d\theta}{dt}(0)=1,\,\phi(0)=\frac{\pi}{3... ...psi(0)=0,\,\,\frac{d\psi}{dt}=\omega-\cos\phi\frac{d\theta}{dt}$$

i.e., on lance la toupie avec un léger mouvement de rotation autour de $Z_{0}$ avec un axe incliné de $\pi/3$ par rapport à la vertical $Z_{0}$. On étudie les 5 cas suivants:

1. cas d'une très grande vitesse de rotation propre: $\omega=100$ très grand
2. cas d'une grande vitesse de rotation propre: $\omega=50$ grand
3. cas d'une petite vitesse de rotation propre: $\omega=10$ petit
4. cas d'une très petite vitesse de rotation propre: $\omega=1$ très petit
5. cas d'une très très petite vitesse de rotation propre: $\omega=0.1$ très très petit