6.3 Formulation éléments finis

Pour construire une approximation $v^{h}$ par éléments finis de la solution de (7.6), on utilise un maillage $\mathcal{M}^{h}$ du domaine de calcul $\Omega=[0,L]$ en $ne$ éléments $\left\{ e_{k}=[x_{k-1},x_{k}]\right\} _{k=1,ne}$ associé à $ne+1$ noeuds $\left\{ x_{i}\right\} _{i=0,ne}$. On choisit ensuite une interpolation en espace de la solution. Pour notre étude nous utiliserons des éléments finis $\mathcal{P}^{1}$. La solution approchée s'écrit alors comme une combinaison linéaire des fonctions de base $\left\{ \Phi_{i}(x)\right\}$associées à ce maillage $\mathcal{M}^{h}$ et à l'interpolation $\mathcal{P}^{1}$:

$$v^{h}(x,t)=\sum_{i=0}^{ne}v_{i}(t)\Phi_{i}(x)$$

En tenant compte des conditions aux limites (7.5), et des propriétés des fonctions de base $\Phi_{i}(x_{j})=\delta_{ij}$:

$$v^{h}(0,t)=v_{0}(t)=0 \mbox{ et } v^{h}(L,t)=v_{ne}(t)=0$$

l'approximation possède $ne-1$ degrés de liberté et s'écrit:

$$v^{h}(x,t)=\sum_{i=1}^{ne-1}v_{i}(t)\Phi_{i}(x)$$

On note que, contrairement aux problèmes statiques étudiés précédemment, les coefficients $v_{i}$ de la combinaison linéaire (valeurs nodales) dépendent maintenant du temps. Les fonctions tests $w^{h}(x)$ étant des variations (à $t$ fixé) de la solution $v^{h}$, c.a.d. une combinaison des fonctions de base, on choisit comme fonctions tests les fonctions de base $\Phi _{i}$. La formulation faible discréte s'écrit alors:

$$\sum_{j=1}^{ne}\frac{d^{2}}{dt^{2}}(v_{j})\int_{0}^{L}\Phi_{... ...frac{\partial\Phi_{i}}{\partial x} dx=0 \forall i=1,ne-1$$

C'est un système de $ne-1$ équations différentielles linéaires du second ordre qui s'écrit sous la forme matricielle:

$$\mathbf{M}\frac{d^{2}V}{dt^{2}}+c_{0}^{2}\mathbf{K}V=0$$

où $\mathbf{M}$ est la matrice de masse, $\mathbf{K}$ la matrice de rigidité et $V$ le vecteur inconnu des valeurs nodales:

$$\mathbf{M}_{ij}=\int_{0}^{L}\Phi_{j}(x)\Phi_{i}(x) dx, ... ...,\frac{\partial\Phi_{i}}{\partial x} dx, V_{i}=v_{i}(t)$$

Ce système s'écrit sous la forme suivante (noté le signe - devant la matrice $\mathbf{A}$):

$$\frac{dV^{2}}{dt^{2}}=-\mathbf{A}V \mbox{ avec }\mathbf{A}=c_{0}^{2}\mathbf{M}^{-1}\mathbf{K}$$

auquel on ajoute les conditions initiales (7.6). La matrice $\mathbf{A}$ est une matrice symétrique et définie positive^6.2, puisque $\mathbf{M}$ et $\mathbf{K}$ sont des matrices symétriques définies positives. $\mathbf{A}$possède donc $ne-1$ valeurs propres réelles positives, que l'on note $\omega_{i}^{2}$.

La solution générale de ce système d'équations différentielles linéaires est donc la somme de $ne-1$ solutions élémentaires où modes propres $\Lambda_{i}$ :

$$V(t)=\sum_{i=1}^{ne-1}\alpha_{i}\Lambda_{i}e^{I\omega_{i}t}$$

les $\Lambda_{i}$ étant les vecteurs propres associés aux valeurs propres $\omega_{i}^{2}$ de la matrice $\mathbf{A}$:

$$\mathbf{A}\Lambda_{i}=\omega_{i}^{2}\Lambda_{i}$$

D'un point de vue mécanique, la vibration du système est une combinaison de modes propres de vibration $\Lambda_{i}$ associés à des fréquences propres $\frac{2\pi}{\omega_{i}}$. On obtiens ainsi les premiers modes de vibrations de la corde.