6.1 Etude de la vibration d'une corde souple

Considérons une corde tendue suivant l'axe $Ox$, initialement au repos avec une longueur $L$ et soumise à une tension $T_{0}$^6.1, que l'on déforme à l'instant $t=0$. C'est le problème de la corde pincée d'un instrument de musique (clavecin), dont on se propose d'étudier la vibration (figure 7.1).

Figure 7.1: corde tendue souple au repos et à un instant t

On suppose que la corde est sans raideur (ou souple), c'est à dire que la résultante des contraintes est la tension $T(x)$ qui reste tangente à la corde. On néglige en particulier le moment de flexion qui apparaıt si la corde possède une raideur (cas d'une poutre). On tiens cependant compte de l'élasticité de la corde, qui peut s'allonger proportionnellement à une variation de tension.

Considérons un élement de corde $MM'$ de longueur $ds$ (figure 7.1) situé en un point $M$ de la corde. Au repos ce brin de corde $MM'(0)$ est situé au point $M(x,0)$ d'abscisse $x$, d'ordonnée $y=0$ et a pour longueur $dx$ : $M'=M'(x+dx,0)$

A l'instant $t$ il a subit un déplacement longitudinal $u(x,t)$ et un déplacement transversal $y(x,t)$. Le point $M$ se trouve donc en $x+u$ et $y$: $M=M(x+u,y)$ et le point $M'$ en $x+u+du$ et $y+dy$: $M'=M'(x+dx+u+du,y+dy)$. Le brin $MM'$ fait un angle $\theta(x,t)$ avec l'axe $Ox$ et sa longueur $ds$ vaut donc $ds^{2}=(dx+du)^{2}+dy^{2}$, soit puisque les variables ne dépendent que de $x$ et du temps $t$:

$$ds=dx\sqrt{\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}}$$

L'angle $\theta$ vérifie les relations suivantes:

$$\sin(\theta)=\frac{dy}{ds}=\frac{\frac{\partial y}{\partial ... ... x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}}}$$

Pour de petits déplacements ( $du\ll dx, dy\ll dx)$, et à un instant $t$ fixé on en déduit les relations suivantes:

$$\frac{\partial s}{\partial x}\simeq1+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}$$

$$\sin(\theta)\simeq\frac{\partial y}{\partial x} \mbox{ et }\cos(\theta)\simeq1$$

L'allongement relatif du brin $MM'$ s'écrit:

$$\frac{ds-dx}{dx}=\frac{ds}{dx}-1\simeq\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}$$

La tension dans la corde est donc la somme de la tension initiale $T_{0}$ et d'une contrainte élastique, qui d'après la théorie de l'élasticité linéaire s'écrit:

$$T(x,t)=T_{0}+ES\left(\frac{ds}{dx}-1\right)\simeq T_{0}+ES\l... ...frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}\right)$$

où $E$ est le module d'Young de la corde et $S$ sa section.

L'équation d'équilibre dynamique pour le brin $MM'$ de masse volumique $\rho$:

$$\rho Sdx\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\left(T\sin(\theta)\right)dx\simeq\fra... ...\partial y}{\partial x}\right)^{2}\right)\frac{\partial y}{\partial x}\right)dx$$ (6.1)

$$\rho Sdx\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\left(T\cos(\theta)\right)dx\simeq\fra... ...al x}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}\right)\right)dx$$

En ne conservant que les termes du premier ordre (petites oscillations), on obtiens un système de 2 équations découplées :

$$\rho S\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} \simeq T_{0}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}$$ (6.2)

$$\rho S\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} \simeq \frac{\partial}{\partial x}(ES\frac{\partial u}{\partial x})$$

qui sont 2 équations des ondes, correspondant respectivement à des ondes de flexion ( $y(x,t)$) de célérité $c_{y}=\sqrt{\frac{T_{0}}{\rho S}}$ et des ondes de compression ($u(x,t)$) de célérité $c_{u}=\sqrt{\frac{ES}{\rho S}}$.

Dans la cas d'une corde de section $S$ constante, ces 2 équations s'écrivent sous la forme d'une équation des ondes avec une célérité constante $c_{0}$ ($c_{0}=c_{y}$ ou $c_{0}=c_{u}$):

$$\frac{\partial^{2}v}{\partial t^{2}}=c_{0}^{2}\frac{\partial v^{2}}{\partial x^{2}}$$ (6.3)

Dans le cas d'une corde de section $S(x)$ non constante (de section moyenne $S_{0}$), cette équation s'écrit:

$$\alpha\frac{\partial^{2}v}{\partial t^{2}}=c_{0}^{2}\frac{\p... ...al}{\partial x}\left(\beta\frac{\partial v}{\partial x}\right)$$ (6.4)

avec $\alpha=\frac{S}{S_{0}}$, $\beta=1$ et $c_{0}=\sqrt{\frac{T_{0}}{\rho S_{0}}}$ pour l'onde de flexion $y(x,t)$ et $\alpha=\frac{S}{S_{0}}$, $\beta=\alpha$ et $c_{0}=\sqrt{\frac{ES_{0}}{\rho S_{0}}}$ pour l'onde de compression $u(x,t)$.

A cette équation on ajoutte des conditions aux limites de déplacement nul aux 2 extrémitées:

$$v(0,t)=0, v(L,t)=0$$ (6.5)

et des conditions initiales (déformation $v_{0}(x)$ sans vitesse initiale):

$$v(x,0)=v^{0}(x), \frac{\partial v}{\partial t}(x,0)=0$$ (6.6)