8.3 Contrainte de force en un point

Considérons le problème de Poisson suivant dans le cercle unité $\Omega$.

$$-\Delta u=f$$

avec des conditions aux limites homogènes sur le cercle $\Gamma$ de rayon 1:

$$u_{\Gamma}=0$$

La formulation faible du problème s'écrit:

$$\int_{\Omega}\nabla u.\nabla\delta u d\Omega=\int_{\Omega}... ... d\Omega \forall\delta u tq \delta u_{\Gamma}=0$$

On veut cependant imposer une contrainte supplémentaire au problème: la solution $u$ prends une valeur fixée, par exemple au centre:

$$u(0,0)=0$$

Pour cela on reformule le problème en terme de multiplicateur de Lagrange, en introduisant une inconnue supplémentaire $\lambda$: la force supplémentaire à appliquer au centre. Le problème s'écrit:

Trouver $u(x,y)$ et $\lambda$ tels que:

$$-\Delta u-f=\lambda\delta(0,0) {dans}\Omega$$

$$u(0,0)=0$$

La formulation faible est obtenue en multipliant la première équation par la fonction test $\delta u$ de $u$ et la seconde par la fonction test $\delta\lambda$ de $\lambda$:

$$\int_{\Omega}\nabla u.\nabla\delta u d\Omega-\int f \delt... ...a u(0,0)=0 \forall\delta tq \delta u_{\Gamma}=0$$

$$u(0,0) \delta\lambda=0 \forall\delta\lambda\in\mathcal{R}$$

Ce système s'interprète comme les conditions de minimisation de la fonctionnelle:

$$\mathcal{L}(u)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}(\nabla u)^{2}d\Omega-\int_{\Omega}fu d\Omega$$

soumise à la contrainte $u(0,0)=0$.

On écrit donc que les gradients (par rapport à $u$) de $\mathcal{L}(u)$ et de la contrainte sont parallèles:

$$<\nabla_{u}\mathcal{L}(u),\delta u>=\lambda\delta u(0,0)$$

et que la contrainte est vérifiée:

$$u(0,0)=0$$

Ce sont les conditions de minimisation de la fonctionnelle $\mathcal{J}$ de $u$ et $\lambda$ suivante:

$$\mathcal{J}(u,\lambda)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}(\nabla u)^{2}d\Omega-\int_{\Omega}fu d\Omega-\lambda u(0,0)$$

Le multiplicateur de Lagrange $\lambda$ est alors la force à appliquer en $(0,0)$ pour imposer le déplacement $u(0,0)=0$.

8.3.1 Modèle FEMLAB

Sous FEMLAB, on introduit un point en $0,0$ et on impose en ce point une contrainte $u$. On sélectionne le mode “Contraintes faibles” ideal dans le menu Physique->Propriété.

La contrainte faible $R(u)$ est imposée dans le champ “contrainte”, et FEMLAB introduit automatiquement le multiplicateur de Lagrange associé $\lambda$ (noté $lm1$) et les termes faibles associées:

$$R(u) \delta\lambda+\lambda\frac{\partial R}{\partial u}\delta u$$

La solution est de la forme suivante:

La valeur du multiplicateur $\lambda$ (force à appliquée) est obtenue avec le menu “post-traitement -> graphique -> point” et en selectionnant lm1.

$$\lambda\approx0.301$$

description du modele FEMLAB

description du modele FEMLAB (version HTML)