8.2 Contraintes sur les conditions aux limites

Les conditions aux limites de Dirichlet peuvent être interprété comme des contraintes sur la solution. Elles sont donc imposées à travers l'introduction de multiplicateur de Lagrange.

Considérons le problème de Poisson suivant dans le cercle unité $\Omega$

$$-\Delta u=1$$

On interprète la condition aux limites $u_{\Gamma}=0$ comme une contrainte.

La formulation variationnelle s'écrit: trouvez $u(x,y)$ minimisant $\mathcal{L}$

$$\mathcal{L}(u)=\frac{1}{2}\int(\nabla u)^{2}d\Omega-\int_{\Omega}u d\Omega$$

sous la contrainte $u_{\Gamma}=0$ .

On écrit donc que les gradients (par rapport à $u$) de $\mathcal{L}(u)$ et de la contrainte sont parallèles:

$$<\nabla_{u}\mathcal{L}(u),\delta u>_{\Omega}=<\lambda,\delta u>_{\Gamma}$$

soit

$$\int_{\Omega}\nabla u.\nabla\delta u d\Omega-\int_{\Omega} \delta u d\Omega=\int_{\Gamma}\lambda\delta u d\Gamma$$

Ce qui correspond à la minimisation de la fonctionnelle $\mathcal{J}(u,\lambda)$

$$\mathcal{J}(u,\lambda)=\frac{1}{2}\int(\nabla u)^{2}d\Omega-\int_{\Omega}u d\Omega-\int_{\Gamma}\lambda u d\Gamma$$

Le multiplicateur de Lagrange $\lambda$s'interprète donc comme la valeur de $\frac{\partial u}{\partial n}$ sur la frontière permettant d'obtenir $u_{\Gamma}=0$. Le problème d'équilibre associé s'écrit:

$$\begin{eqnarray*} -\Delta u & = & 1\\ \frac{\partial u}{\partial n} & = & \lambda\end{eqnarray*}$$

où $\lambda$ est tel que la solution vérifie $u_{\Gamma}=0$.

L'intérêt de cette approche par rapport à la condition de Dirichlet classique est que l'on a accès à la valeur exacte $\lambda$ de $\frac{\partial u}{\partial n}$, alors que la solution élément finie $u^{h}$ fournit uniquement une approximation $\frac{\partial u^{h}}{\partial n}$.

8.2.1 Modèle FEMLAB

Sous FEMLAB, on peut imposer les contraintes sur les conditions aux limites sous deux formes. Pour cela on sélectionne le mode “Contraintes faibles” ideal dans le menu Physique->Propriété.

La forme implicite consiste alors, dans le menu “condition aux limites”, à introduire la condition $R(u)$ à imposer dans le champ constr, du tableau Faible (weak)

FEMLAB introduit automatiquement le multiplicateur de Lagrange associé $\lambda$ (noté $lm1$) et les termes faibles associées:

$$\int_{\Gamma}R(u) \delta\lambda d\Gamma+\int_{\Gamma}\lambda\frac{\partial R}{\partial u}\delta u d\Gamma$$

La seconde méthode est d'introduire explicitement le multiplicateur de Lagrange $\lambda$ sur la frontière $\Gamma$ en ajoutant, dans le mode multi-physique, une équation faible supplémentaire pour cette contrainte (Forme Faible, limite). Pour la première équation, on impose des conditions de Neuman homogène (i.e. par de contribution d'intégrale de bord dans la formulation), et on introduit dans la seconde équation les intégrales de bords manquantes:

$$\int_{\Gamma}R(u) \delta\lambda d\Gamma+\int_{\Gamma}\lambda\frac{\partial R}{\partial u}\delta u d\Gamma$$

sous la forme: lm*u_test+lm_test*u dans les conditions aux limites sur $\lambda$ (noté lm).

La solution calculée à la forme suivante:

Cette solution est identique à la solution calculée avec des conditions de dirichlet. La seule différence est qu'avec l'approche des multiplicateurs, on a accès une meilleur approximation $\lambda$ de $\frac{\partial u}{\partial n}$. En effet la solution exacte vérifie

$$\int_{\Gamma}\frac{\partial u}{\partial n} d\Gamma=\int_{\Omega}\Delta u d\Omega=\pi$$

et on vérifie avec FEMLAB que

$$\int_{\Gamma}\lambda d\Gamma=3.14159=\pi$$

alors que la solution élément finis fournie:

$$\int_{\Gamma}\frac{\partial u^{h}}{\partial n} d\Gamma=3.13874\neq\pi$$

La méthode des multiplicateurs de Lagrange pour les conditions aux limites permet d'avoir accès à une meilleur approximation des fluxs ou des contraintes sur les frontières.

description du modele FEMLAB

description du modele FEMLAB (version HTML)