5.3 Application: étude de l'effet Magnus

5.3.1 Description du modèle

On reprend l'exemple précédent, en supposant que le cylindre tourne à vitesse angulaire $\omega_{0}\overrightarrow{e}_{z}$. On suppose maintenant que le fluide est visqueux, pour pouvoir être entraîné par le cylindre, mais reste irrotationnel. L'écoulement reste un écoulement à potentiel, vérifiant une équation de Laplace:

$$\Delta\Psi=0$$

Les conditions aux limites sont telles que loin de l'obstacle la vitesse est égale à $U_{0}$. Pour la condition aux limites sur l'obstacle, la condition physique est que la vitesse du fluide doit être égale à la vitesse du cylindre $U_{r}=\omega_{0}R$, Cependant, cette condition aux limites n'est pas compatible avec les hypothèses de fluide irotationnel. On impose donc une condition moins forte: l'égalité de l'intégrale de la vitesse tangentielle sur le cylindre, et la condition d'imperméabilité, soit

$$\oint_{r=R}\overrightarrow{U}.\overrightarrow{dl}=2\pi\omega_{0}R^{2}, \overrightarrow{U}.\overrightarrow{n}=0$$

La première condition impose la circulation de vitesse $\kappa$ autour du cylindre:

$$\kappa=\oint_{r=R}\overrightarrow{U}.\overrightarrow{dl}=\int_{0}^{2\pi}u_{\theta}(R,\theta) d\theta=2\pi\omega_{0}R^{2}$$ (5.5)

qui peut s'interpréter comme la condition qu'en moyenne la vitesse du fluide $u_{\theta}$ sur le cylindre est égale à la vitesse du cylindre $\omega_{0}R$.

La mise en rotation du fluide par le cylindre engendre autour du cylindre une répartition de pression qui n'est plus symétrique par rapport à $Ox$. Cette répartition de pression crée une force de portance sur le cylindre $\Gamma_{1}$ (suivant Oy):

$$F=\int_{\Gamma_{1}}p n_{y}ds$$

où $n_{y}$ est la composante suivant y de la normale $\overrightarrow{n}$ à la surface $\Gamma$. La théorie des écoulements potentiels montre que cette force est proportionnelle à la circulation $\kappa$

$$F=-\rho_{0}U_{0}\kappa$$ (5.6)

Cette force de portance, perpendiculaire à la vitesse du fluide loin du cylindre, est appelée “effet Magnus” et explique les mouvements de lift des balles de tennis ou de golf.

5.3.2 Mise en équation

Pour résoudre ce problème par éléments finis, on calcule une approximation $\Psi^{h}$ de la fonction de courant $\Psi$ solution de:

$$\Delta\Psi=0 \mbox{ dans } \Omega$$

associée aux conditions aux limites:

$$\Psi\vert _{\Gamma_{0}}=U_{0}y, \Psi\vert _{\Gamma_{1}}=\Psi_{1}$$

La seconde conditions aux limites implique que le cylindre $\Gamma_{1}$ est une ligne de courant et la valeur $\Psi_{1}\neq0$ imposée est telle que l'on ait une circulation $\kappa$ autour du cylindre.

5.3.3 Résolution avec FEMLAB

Les différentes étapes de la résolution sont:

1. choix du modèle physique (EDP) et choix du degré d'approximation (éléments $P^{2}$ par défaut).
2. création de la géométrie
3. maillage du domaine de calcul
4. définition des coefficients du modèle dans $\Omega$
5. définition des conditions aux limites sur la frontière $\Gamma=\partial\Omega$
6. résolution
7. analyse et tracé de la solution

Ces étapes sont décrites ci dessous:

description du model

description du model (version HTML)

5.3.4 Exécution du modèle FEMLAB

execution du modele (version FEMLAB)

5.3.5 Analyse du résultat

Pour analyser le résultat, on calcule tout d'abord le champ de pression en utilisant Bernoulli:

$$p+\frac{1}{2}\rho u^{2}=cste$$

soit en fonction de $\Psi$ (à une constante près)

$$p=-\frac{1}{2}\rho(\left(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)^{2})$$

On en déduit la force de portance $F$

$$F=\int_{\Gamma_{1}}p.n_{y} d\Gamma$$

Avec FEMLAB, on obtiens pour $\Psi_{0}=0.4$, $U_{0}=1$, $\rho_{0}=1$ et $R=0.1$ :

$$F=-1.098$$

Le calcul de la circulation $\kappa$ en fonction de $\Psi$ s'écrit:

$$\kappa=\int_{\Gamma_{1}}\left(\frac{\partial\Psi}{\partial x}n_{x}+\frac{\partial\Psi}{\partial y}n_{y}\right)d\Gamma$$

puisque $u_{\theta}=\overrightarrow{U}.\overrightarrow{t}=\frac{\partial\Psi}{\partial x}n_{x}+\frac{\partial\Psi}{\partial y}n_{y}$.

Le calcul FEMLAB donne:

$$\kappa=1.090$$

ce qui est en très bon accord avec la théorie (solution exacte 5.6), qui pour une circulation positive, prédit une force de portance négative. Compte tenu de la relation 5.5, on peut aussi en déduire la vitesse de rotation $\omega_{0}$ du cylindre pour la valeur de $\Psi_{1}$ imposée:

$$\omega_{0}=17.34 rd/s$$