3.13 Déformation d'un système de ressorts

Considérons maintenant le système de 3 ressorts de la figure ci-dessous.

L'équilibre statique au noeud 1 impose que la force appliquée $f_{1}$ soit égale à la force de tension du ressort 1

$$f_{1}=k_{1}(u_{1}-u_{2})$$

De même pour le noeud 2, la force extérieure $f_{2}$ est égale à la somme des forces de tension des ressorts 1 et 2:

$$f_{2}=k_{1}(u_{2}-u_{1})+k_{2}(u_{2}-u_{3})$$

Pour le noeud 3, on obtiens:

$$f_{3}=k_{2}(u_{3}-u_{2})+k_{3}(u_{3}-u_{4})$$

et pour le noeud 4:

$$f_{4}=k_{3}(u_{4}-u_{3})$$

Ces 4 équations forment un système linéaire 4*4 de la forme $K\{u\}=\{f\}$ . La matrice $K$ est appelé matrice de rigidité du système, $\{u\}$ le vecteur déplacement et $\{f\}$ le vecteur force. Ils s'écrivent:

$$\left[\begin{array}{cccc} \textcolor{blue}{k}_{1} & -\textco... ...n{array}{c} f_{1}\\ f_{2}\\ f_{3}\\ f_{4}\end{array}\right]$$ (3.2)

La matrice $K$ peut être obtenu par assemblage des matrices élémentaires 3.1 de chaque ressort.

Ce système linéaire n'admet, pas tel quel, de solutions uniques, puisque la solution de 3.2 est définie à une translation arbitraire suivant l'axe $Ox$.

Pour rendre la solution unique, il faut imposer au moins une condition aux limites sur le déplacement en 1 ou en 4. Par exemple si le système est fixé en 1, le déplacement $u_{1}$ est nul, et le système admet une solution unique. Il s'écrit:

$$\left[\begin{array}{cccc} \textcolor{blue}{1} & 0 & 0 & 0\\ ... ...begin{array}{c} 0\\ f_{2}\\ f_{3}\\ f_{4}\end{array}\right]$$ (3.3)

et la solution $\{u\}$ est obtenue par résolution du système linéaire $\{u\}=K^{-1}\{f\}$. La force de réaction $T_{1}$ en 1 est évidement obtenue après résolution par la relation:

$$T_{1}=k_{1}(0-u_{2})$$

On peut aussi imposer le déplacement au noeud 4 : $u_{4}=u_{0}$. Dans ce cas le système s'écrit:

$$\left[\begin{array}{cccc} \textcolor{blue}{1} & 0 & 0 & 0\\ ... ...f_{3}+\textcolor{green}{k}_{3}u_{0}\\ u_{0}\end{array}\right]$$ (3.4)

La force $f_{4}$ à appliquée en 4 pour imposer ce déplacement se calcule alors après résolution par la relation:

$$f_{4}=k_{3}(u_{0}-u_{3})$$