3.12 Déformation d'un ressort linéaire

On considère le ressort linéaire de raideur $k$ de la figure ci dessous.

Le déplacement $u_{1}$ et $u_{2}$ des 2 extrémités du ressort correspond à l'application des forces axiales $f_{1}$ et $f_{2}$. Sur le dessin, le déplacement et la force au point 1 sont dirigés vers la droite (axe des x positifs), et sont donc positifs, et sont dirigés vers la gauche au point 2, et donc négatifs.

Si le ressort est en équilibre statique, la somme des forces est nulle:

$$\overrightarrow{f_{1}}+\overrightarrow{f_{2}}=0$$

d'où l'on déduit l'égalité des forces $f_{2}=-f_{1}$

La compression du ressort soumis à ces forces est égale à $u_{1}-u_{2}$, et est proportionnel à la force appliquée:

$$f_{1}=k\,(u_{1}-u_{2}),\,\, f_{2}=k\,(u_{2}-u_{1})$$

Ces 2 relations peuvent s'écrire sous forme matricielle

$$\left[\begin{array}{cc} k & -k\\ -k & k\end{array}\right]\l... ...right]=\left[\begin{array}{c} f_{1}\\ f_{2}\end{array}\right]$$ (3.1)

La matrice de ce système $\mathcal{K}$ est appelée matrice de rigidité élémentaire et le second membre est appelé vecteur force élémentaire.