3.2 Trajectoires

Trajectoire=courbe paramétrée par le temps $t$

Soit $M(t)$ un point de la trajectoire :

$$\overrightarrow{OM}=(x(t),\, y(t))$$

3.2.1 Vitesse

Tangente à la trajectoire

$$\overrightarrow{V}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=(x'(t),y'(t))$$

Accélération

$$\overrightarrow{\gamma}=\frac{d^{2}\overrightarrow{OM}}{dt^{2}}=(x''(t),y''(t))$$

3.2.2 Abscisse curviligne

$s(M)$ abscisse curviligne, $ds=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}$

$$s(t_{1})=\int_{0}^{t_{1}}\left\Vert \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\right\Vert dt=\int_{0}^{t_{1}}\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}dt$$

distance parcourue pendant $t_{1}$

3.2.3 Repère de Frenet

En un point $M$ de la trajectoire, c'est le repère $(\overrightarrow{T},\overrightarrow{N})$ orthonormée directe où $\overrightarrow{T}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$ est le vecteur unitaire tangent (i.e. //$^{e}$ à la vitesse):

$$\overrightarrow{T}=\frac{\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}}{\left\Vert \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}\right\Vert }$$

$\overrightarrow{N}$ le vecteur est orthogonal directe t.q

$$\overrightarrow{N}=R\,\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\,\,\,\mbox{{\, car\,}}\,\left\Vert \overrightarrow{T}\right\Vert ^{2}=1$$

$R(M)$ est le rayon de courbure de la trajectoire en $M$ (la courbure $\gamma=\frac{1}{R}$)

• Relations de dérivations

$$\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}=\frac{1}{R}\,\overrightarrow{... ...{T}\,\,\mbox{{\, car\,}}\overrightarrow{T}.\overrightarrow{N}=0$$

• Vitesse

$$\overrightarrow{V}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{OM}=\frac{ds}{dt}\,\overrightarrow{T}$$

• Accélération

$$\overrightarrow{\gamma}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{V}=\frac... ...}+\frac{1}{R}\left(\frac{ds}{dt}\right)^{2}\,\overrightarrow{N}$$

• Calcul de la courbure à partir de l'accélération

$$\overrightarrow{\gamma}.\overrightarrow{N}=\frac{1}{R}\left\Vert \overrightarrow{V}\right\Vert ^{2}$$

$$\gamma_{N}=\frac{V^{2}}{R},\,\,\,\gamma_{T}=\frac{d\left\Vert V\right\Vert }{dt}$$

3.2.4 courbe plane

Dans le cas d'une courbe plane $y=f(x)$, le repére de Frenet s'écrit:

$$\overrightarrow{T}=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{(1... ...sqrt{(1+f'^{2})}} & \frac{1}{\sqrt{1+f'^{2}}}\end{array}\right]$$

et la courbure s'écrit en fonction de $f''$

$$\frac{1}{R}=\frac{f''}{(1+f'^{2})^{\frac{3}{2}}}$$