7.2 Modèle physique

On a donc à résoudre dans chaque domaine l'équation de la chaleur 2D instationnaire:

$$\rho C_{p}\frac{\partial T}{\partial t}=div\left(k\overright... ...}T\right)+Q \mbox{ dans }\Omega=\Omega_{1}\cup\Omega_{2}$$

avec des valeurs de $\rho$, $C_{p}$et $k$ différentes dans chacun des domaines. Le terme source $Q$ vaut:

$$Q=5/(0.06*0.06*0.005) W/m^{3}$$

dans $\Omega_{1}$ et $Q=0$ dans $\Omega_{2}$. On note $L=0.0625$la longueur du radiateur et $H=0.05$ sa hauteur.

La condition initiale correspond à un composant hors tension, et donc une température égale à la température extérieure:

$$T_{e}=25\,\mbox{\mbox{}{\degre}C}$$

Les conditions aux limites sont les suivantes:

1. isolation sur la frontière $y=0$ (condition adiabatique $k\frac{\partial T}{\partial n}=0$)
2. condition de symétrie en $x=0$: $\frac{\partial T}{\partial n}=0$
3. échange par convection sur les autres frontières: $k\frac{\partial T}{\partial n}=h(T_{e}-T)$

Le coefficient d'échange par conduction $h$ dépend de la mise en route ou non du ventilateur. Sans ventilateur, on a $h=1$ et avec un ventilateur on a $h=11$ sur le dessus du radiateur. Sur la frontière $x=0.0625$, on a toujours $h=1$ (pas de ventilation).

7.2.1 Analyse

A l'état stationnaire, on a

$$div\left(k\overrightarrow{\nabla}T\right)+Q=0$$

qui intégré sur $\Omega$donne, compte tenu des conditions aux limites:

$$Q V_{0}=-\int_{\Gamma}k\frac{\partial T}{\partial n}d\Gamma=-\int_{\Gamma_{1}}h(T_{e}-T)d\Gamma$$

On a noté $V_{0}$le volume (par unité de longueur en z) du domaine $\Omega_{1}$. En notant $S_{1}$ la surface (par unité de longueur en z) de la frontière $\Gamma_{1}$ où l'on a un échange de chaleur par convection, la température moyenne $T_{f}$ du radiateur à l'état stationnaire vérifie:

$$Q V_{0}=-h S_{1}(T_{e}-T_{f})$$

Soit avec les données du problème $(S_{1}=0.53$, $V_{0}=0.00015$, $Q=2.7 10^{5}$

$$T_{f}-T_{e}\approx76$$

De la même façon, en intégrant l'équation d'équilibre en temps et en espace entre l'instant initial $t=0$ et l'instant ou l'on atteint l'état stationnaire $t=t_{f}$:

$$\begin{eqnarray*} \rho C_{p}V(T_{f}-T_{e}) & = & Q V_{0}t_{f}+\int_{0}^{t_{f}}... ...c{T_{e}+T_{f}}{2})t_{f}\\ & \approx & \frac{1}{2}Q V_{0}t_{f}\end{eqnarray*}$$

ce qui fournit une estimation du temps $t_{f}$ pour atteindre l'état stationnaire (on note $V=0.002$ le volume du radiateur):

$$t_{f}\approx\frac{\rho C_{p}V(T_{f}-T_{e})}{\frac{1}{2}QV_{0}}\approx1.8 10^{4}$$

On choisit donc un temps d'intégration des équations de $1.8 10^{4}$ ($\approx5^{h}$).