6.13 Methode de la puissance itérée

Détermination de la plus grande des v.p. $\lambda_{n}=\lambda_{max}$

Principe

 

$$X_{0}\in\mathbb{R}^{n}\mbox{ avec }X_{0}=\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\Lambda_{i}}$$

$$X_{1}=A.X_{0}=\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\lambda_{i}\Lambda_{i}}$$

$$X_{k}=A.X_{k-1}=\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\lambda_{i}^{k}\Lambda_{i}}$$

$$\frac{\vert\vert X_{k+1}\vert\vert}{\vert\vert X_{k}\vert\vert}\rightarrow\lambda_{n}=\lambda_{max}$$

Algorithme

 

• Vecteur propre associée: $\Lambda_{n}\leftarrow X_{k}$
• Idem pour la calcul de $\lambda_{min}$,
  plus grande des v.p. de $A^{-1}$
• Attention, pour $X_{k}$ on résoud $A.X_{k}=Q_{k-1}$

6.13.1 Iteration inverse

Détermination d'une valeur propre $\lambda_{m}$
et du vecteur propre associé $\Lambda_{m}$

Principe:

$B\in\mathbb{R}^{n}$ et $\tau\approx\lambda_{m}$

$$(A-\tau*Id)Y=B\mbox{ avec }B=\sum_{i=1}^{n}{\beta_{i}\Lambda_{i}}$$

$$\leadsto Y=\sum_{i=1}^{n}{\frac{\beta_{i}}{\lambda_{i}-\tau}\Lambda_{i}}\approx\frac{\beta_{m}}{\lambda_{m}-\tau}\Lambda_{m}$$

Algorithme