6.5 Conditionnement d'une matrice

6.5.1 Normes dans $R^{n}$

$$\left\Vert X\right\Vert _{1}=\sum_{1}^{n}\left\vert x_{i}\right\vert$$

$$\left\Vert X\right\Vert _{2}=\sqrt{\sum_{1}^{n}x_{i}^{2}}$$

$$\left\Vert X\right\Vert _{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\left\vert x_{i}\right\vert$$

6.5.2 Normes matricielles

$$\left\Vert A\right\Vert =\max_{x\neq0}\frac{\left\Vert A.x\right\Vert }{\left\Vert x\right\Vert }$$

$$\left\Vert A\right\Vert _{1}=\max_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^{n}\left\vert A_{ij}\right\vert$$

$$\left\Vert A\right\Vert _{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^{n}\left\vert A_{ij}\right\vert$$

• Norme d'une matrice en fonction des v.p.
  
  $$\left\Vert A\right\Vert _{2}=\sqrt{\rho(A.A^{t})} \rho(A)=\lambda_{max}$$
  
  

• si $A$ est symétrique
  
  $$\left\Vert A\right\Vert _{2}=\rho(A)$$
  
  

6.5.3 Définition du conditionnement

$$cond(A)=\left\Vert A\right\Vert \left\Vert A^{-1}\right\Vert =\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}}$$

matrice

bien conditionnée si $cond(A)\simeq1$

6.5.4 Erreur

• perturbation du 2nd membre $\delta b$
  
  $$si x\neq0 alors \frac{\left\Vert \delta x\right\Ver... ...frac{\left\Vert \delta b\right\Vert }{\left\Vert b\right\Vert }$$
  
  

• équilibrage de la matrice pour éviter les erreurs numériques
• correction de l'erreur par itération successive

exemple:

 

$$A=\left[\begin{array}{cccc} 10 & 7 & 8 & 7\\ 7 & 5 & 6 & 5\... ...sto X=\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$$

$$\mbox{{ mais si}}B=\left[\begin{array}{c} 32.1\\ 22.9\\... ...t[\begin{array}{c} 9.2\\ -12.6\\ 4.5\\ 1.1\end{array}\right]$$

et on a $cond(A)=4488$